Encontre a solução geral real de
(b) y^(4)+18 y^prime prime+81 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral real da equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) + 18,y'' + 81,y = 0
O método padrão é escrever a equação característica, encontrar suas raízes (contando multiplicidades) e, em seguida, montar a solução geral a partir desses autovalores.

Passo 2

Escrevemos a equação característica em r:
r^4 + 18,r^2 + 81 = 0
Fazendo a substituição m = r^2, obtemos a equação quadrática
m^2 + 18,m + 81 = 0
Note que
m^2 + 18,m + 81 = (m + 9)^2,
logo a única raiz é
m = -9,
com multiplicidade 2.

Passo 3

Da solução m = r^2 = -9 tiramos
r = pm 3,i,
cada um com multiplicidade 2 pois (m+9)^2=0 implica (r^2+9)^2=0.
Para raízes complexas conjugadas de ordem 2, a forma da solução geral complexa é
y(x) = e^3 i x(C1 + C2,x) + e^-3 i x(C3 + C4,x)

Passo 4

Convertendo para a forma real usamos as identidades de Euler e agrupamos constantes para obter funções reais. O resultado é
y(x) = l(A + B,xr)cos(3x) + l(C + D,xr)sin(3x),
onde A,B,C,D são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = l(A + B,xr)cos(3x) + l(C + D,xr)sin(3x),
com A,B,C,DinR.

Exercícios relacionados