Encontre a solução geral real de
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral real da equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
O método padrão é escrever a equação característica, encontrar suas raízes (contando multiplicidades) e, em seguida, montar a solução geral a partir desses autovalores.
Passo 2
Escrevemos a equação característica em
:
Fazendo a substituição
, obtemos a equação quadrática
Note que
logo a única raiz é
com multiplicidade 2.
Passo 3
Da solução
tiramos
cada um com multiplicidade 2 pois
implica
.
Para raízes complexas conjugadas de ordem 2, a forma da solução geral complexa é
Para raízes complexas conjugadas de ordem 2, a forma da solução geral complexa é
Passo 4
Convertendo para a forma real usamos as identidades de Euler e agrupamos constantes para obter funções reais. O resultado é
onde
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
com
.