Calcule d yd x com aplicação avançada da regra da cadeia:
y=(1+sin x1-cos x)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = l(1+sin x1-cos xr)^3
ou seja, vamos usar a regra da cadeia para a potência e, dentro dela, a regra do quociente para a função
u(x)=1+sin x1-cos x

Passo 2

Definimos
u(x)=1+sin x1-cos x,
então
y = [,u(x),]^3
Pela regra da cadeia temos
dydx = 3,[u(x)]^2,dudx

Passo 3

Para calcular dfracdudx usamos a regra do quociente: se
u = fg,
então
dudx = f',g - f,g'g^2
Aqui f(x)=1+sin x e g(x)=1-cos x, logo
f'(x)=cos x, g'(x)=sin x
Portanto
dudx = cos x,(1-cos x);-;(1+sin x),sin x(1-cos x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
cos x,(1-cos x) - (1+sin x),sin x = cos x - cos^2x - sin x - sin^2x
Como cos^2x+sin^2x=1, isso vira
cos x - 1 - sin x = -l(1 - cos x + sin xr)
Logo
dudx = -1 - cos x + sin x(1-cos x)^2

Passo 5

Substituindo em dfracdydx=3[u(x)]^2,dfracdudx:
dydx =3;(1+sin x)^2(1-cos x)^2 ;times; l(-1 - cos x + sin x(1-cos x)^2r)
Cancelando os (1-cos x)^2 em cima e embaixo, obtemos
dydx = -3;(1+sin x)^2,l(1 - cos x + sin xr)(1-cos x)^4

Resposta

dydx = -3;(1+sin x)^2,l(1 - cos x + sin xr)(1-cos x)^4

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