Calcule d yd x com aplicação avançada da regra da cadeia:
y=e^ln (x^2+1)

Passo 1

Beleza, pessoal. O enunciado pede para calcular dydx da função
y = e^lnl(x^2+1r)
O conteúdo aqui é aplicação avançada da regra da cadeia, pois temos uma composição de três funções: uma quadrática, depois o logaritmo natural e, por fim, a exponencial.

Passo 2

Vamos reescrever a composição em três níveis:
h(x) = x^2+1, g(v)=ln(v), f(u)=e^u,
de modo que
y = fl(gl(h(x)r)r)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada função isoladamente:
h'(x) = ddxl(x^2+1r) = 2x,
g'(v) = ddvl(ln(v)r) = 1v,
f'(u) = ddul(e^ur) = e^u

Passo 4

Pela regra da cadeia em três níveis,
dydx = f'(u),cdot,g'(v),cdot,h'(x) = e^u,cdot,1v,cdot,2x
Como u=ln(x^2+1) e v=x^2+1, temos
dydx = e^ln(x^2+1);2xx^2+1

Passo 5

Basta usar a identidade e^ln(a)=a para a>0:
dydx =(x^2+1);2xx^2+1 =2x

Resposta

dydx=2x.

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