Para i, j, k=1,2,3, calcule de<ai j de<aj k e de<ai j de<aj k de<ak i

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular duas expressões envolvendo o símbolo de<aij, que é o Delta de Kronecker. Esse símbolo é usado em matemática e física para facilitar cálculos com índices. Vamos precisar entender como o Delta de Kronecker funciona para resolver os cálculos que a questão propõe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Delta de Kronecker, representado por [\delta_{ij}). Ele é definido da seguinte maneira:
Isso significa que e são iguais, e 0 quando são diferentes. Esse conceito é super útil porque simplifica muitos cálculos envolvendo somas de termos com índices.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira expressão: de<aij de<ajk. Aqui, temos três índices: i, j e k, cada um variando de 1 a 3. Para multiplicar esses deltas, vamos considerar todas as possibilidades dos índices.
Sabemos que de<aij é 1 só quando i = j, e de<ajk é 1 só quando j = k. Portanto, para o produto de<aij de<ajk ser 1, precisamos que i = j e j = k simultaneamente. Se isso acontecer, então automaticamente i = k.
Assim, o produto de<aij de<ajk só será 1 quando i = j = k, caso contrário será 0. Isso significa que:
de<aij de<ajk = de<aik
Ou seja, o produto dos dois Deltas de Kronecker resulta em um Delta de Kronecker que relaciona i e k diretamente.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda expressão: de<aij de<ajk de<aki. Aqui temos três deltas multiplicados juntos. Vamos aplicar o mesmo raciocínio que usamos no passo anterior.
Sabemos que:
  • de<aij é 1 se i = j
  • de<ajk é 1 se j = k
  • de<aki é 1 se k = i
Para que todo o produto seja 1, todos os pares de índices devem ser iguais: i = j = k = i. Isso significa que todos os índices devem ser iguais entre si.
Como cada índice varia de 1 a 3, temos 3 possibilidades onde isso acontece:
  1. i = j = k = 1
  2. i = j = k = 2
  3. i = j = k = 3
Em cada um desses casos, o produto de<aij de<ajk de<aki será 1. Para todas as outras combinações de índices, pelo menos um dos deltas será 0, fazendo com que o produto todo seja 0.
Portanto, somando todos os casos onde o produto é 1, temos:
de<aij de<ajk de<aki = 3

Resposta

de<aij de<ajk = de<aik e de<aij de<ajk de<aki = 3

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