Nos itens abaixo, efetue a antidiferenciação(integrais indefinidas).
integral sen 2 ye^y d y

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral sen2ye^y,dy
que é uma integral do tipo produto entre uma exponencial e uma função trigonométrica. Vamos usar a técnica de antiderivação para e^a ysin(b y).

Passo 2

Reescrevendo o integrando, temos
sen2ye^y = e^-y,sen(2y)
Identificamos então uma integral da forma integral e^a ysin(b y),dy com
a = -1, b = 2

Passo 3

Lembrando a fórmula de antiderivação (que pode ser obtida por partes):
integral e^a ysin(b y),dy = e^a y,l(asin(b y)-bcos(b y)r)a^2+b^2 + C

Passo 4

Aplicando com a=-1 e b=2:
integral e^-ysin(2y),dy = e^-y,l(-1cdotsin(2y)-2cdotcos(2y)r)(-1)^2+2^2 + C = -,e^-y,(sin(2y)+2cos(2y))5 + C

Passo 5

Ficando portanto a antiderivada mais compacta:
-,e^-y5,l(sen(2y)+2cos(2y)r) + C

Resposta

integral sen2ye^y,dy = -e^-y5,l(sen(2y)+2cos(2y)r) + C

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