Calcule
em cada um dos casos abaixo.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Estamos com quatro equações definidas implicitamente; o conteúdo principal é derivação implícita, usando regra da cadeia, regra do produto e derivadas de funções elementares para encontrar
em cada caso.
Passo 2
Para (a)
, diferenciamos ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
logo
Passo 3
Para (b)
, aplicamos derivada de logaritmo e regra do produto:
Multiplicando por
e agrupando
:
$$
x y’ + y = xy e^{x+y} + xy e^{x+y}y’$$
$$
y’(x - xy e^{x+y}) = xy e^{x+y} - y$$
portanto
Passo 4
Para ©
, usamos
nos dois lados:
. Diferenciando:
Reunindo
:
$$
y’(\ln x - \tfrac{x}{y}) = \ln y - \tfrac{y}{x}$$
e então
Passo 5
Para (d) , derivamos:
Isolando
dá
Resposta
(a)
(b)
©
(d)