Calcule d yd x em cada um dos casos abaixo.
(a) ln y=e^y sen x
(b) ln x y=e^x+y
© x^y=y^x
(d) tg y=e^x+ln x

Passo 1

Estamos com quatro equações definidas implicitamente; o conteúdo principal é derivação implícita, usando regra da cadeia, regra do produto e derivadas de funções elementares para encontrar dydx em cada caso.

Passo 2

Para (a) ln y = e^y sin x, diferenciamos ambos os lados em relação a x:
1yy' = ddx(e^y sin x) = e^y y' sin x + e^y cos x
Isolando y':
y'l(tfrac1y - e^y sin xr) = e^y cos x
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y' = e^y cos x1y - e^y sin x

Passo 3

Para (b) ln(xy) = e^x+y, aplicamos derivada de logaritmo e regra do produto:
1xy(x y' + y) = e^x+y(1 + y')
Multiplicando por xy e agrupando y':
$$
x y’ + y = xy e^{x+y} + xy e^{x+y}y’$$
$$
y’(x - xy e^{x+y}) = xy e^{x+y} - y$$
portanto
x y' + y = xy e^x+y + xy e^x+yy'

Passo 4

Para © x^y = y^x, usamos ln nos dois lados: yln x = xln y. Diferenciando:
y'ln x + yx = ln y + xy'y
Reunindo y':
$$
y’(\ln x - \tfrac{x}{y}) = \ln y - \tfrac{y}{x}$$
e então
y'(ln x - tfracxy) = ln y - tfracyx

Passo 5

Para (d) , derivamos:
tg y = e^x + ln x
Isolando sec^2 y ;y' = e^x + 1x
y'

Resposta

(a) y' = e^y cos x1y - e^y sin x
(b) y' = xy e^x+y - yx - xy e^x+y
© y' = ln y - yxln x - xy
(d) y' = (e^x + tfrac1x)cos^2 y

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