Calcule a derivada de y em relação à variável independente dada.
(a) y=(x+1)^x
(d) y=t^raizt
(f) y=x^sen x
(i) y=(tg x)^1x
(b) y=x^x+1
(e) y=(sen x)^x
(g) y=x^ln x
© y=(raizt)^t
(h) y=(ln x)^ln x
(j) y=(ln x)^cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de várias funções do tipo y = f(x)^{g(x)}, usando como conteúdo diferenciação de funções com base e expoente variáveis, onde precisaremos de diferenciação logarítmica, regra do produto e cadeia.

Passo 2

Para resolver funções do tipo y = f(x)^{g(x)}, aplicamos diferenciação logarítmica: tomamos ln de ambos os lados e depois derivamos. Primeiro escrevemos:
ln y = g(x),ln f(x)
Derivando ambos os lados em relação a x, usando regra da cadeia e do produto, obtemos:
1yy' = g'(x),ln f(x) + g(x),f'(x)f(x)
Multiplicando por y, chegamos à fórmula geral:
y' = yl(g'(x)ln f(x) + g(x)f'(x)f(x)r)
Agora basta identificar f(x), g(x), calcular f’(x) e g’(x) em cada caso e substituir na fórmula.

Passo 3

Nos itens (a) e (b) temos:
(a) f(x)=x+1, g(x)=x, f’(x)=1, g’(x)=1.
(b) f(x)=x, g(x)=x+1, f’(x)=1, g’(x)=1.
Substituindo em y’ = y[ g’ ln f + g(f’/f) ], obtemos as derivadas de (a) e (b).

Passo 4

Nos itens © e (d) temos:
© f(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}, g(t)=t, f’(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}, g’(t)=1.
(d) f(t)=t, g(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}, f’(t)=1, g’(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}.
Aplicamos o mesmo procedimento para obter y’ em © e (d).

Passo 5

Nos itens (e) e (f) temos:
(e) f(x)=\sin x, g(x)=x, f’(x)=\cos x, g’(x)=1.
(f) f(x)=x, g(x)=\sin x, f’(x)=1, g’(x)=\cos x.
Substituímos na fórmula para as derivadas em (e) e (f).

Passo 6

Nos itens (g) e (h) temos:
(g) f(x)=x, g(x)=\ln x, f’(x)=1, g’(x)=1/x.
(h) f(x)=\ln x, g(x)=\ln x, f’(x)=1/x, g’(x)=1/x.
Fazemos a mesma aplicação para (g) e (h).

Passo 7

Nos itens (i) e (j) temos:
(i) f(x)=\tan x, g(x)=1/x, f’(x)=\sec^2 x, g’(x)=-1/x^2.
(j) f(x)=\ln x, g(x)=\cos x, f’(x)=1/x, g’(x)=-\sin x.
Substituímos em y’ = y[ g’ ln f + g(f’/f) ] para obter as derivadas em (i) e (j).

Resposta

(a) y’= (x+1)^{x}\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr)
(b) y’= x^{x+1}\Bigl(\ln x+\frac{x+1}{x}\Bigr)
© y’= t^{\tfrac t2}\Bigl(\tfrac12\ln t+\tfrac12\Bigr)
(d) y’= t^{\sqrt t}\Bigl(\frac{\ln t}{2\sqrt t}+\frac{1}{\sqrt t}\Bigr)
(e) y’= (\sin x)^{x}\Bigl(\ln(\sin x)+x\cot x\Bigr)
(f) y’= x^{\sin x}\Bigl(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\Bigr)
(g) y’= x^{\ln x}\frac{2\ln x}{x}
(h) y’= (\ln x)^{\ln x}\frac{\ln(\ln x)+1}{x}
(i) y’= (\tan x)^{\tfrac1x}\Bigl(-\frac{\ln(\tan x)}{x{2}}+\frac{\sec{2}x}{x\tan x}\Bigr)
(j) y’= (\ln x)^{\cos x}\Bigl(-\sin x\ln(\ln x)+\frac{\cos x}{x\ln x}\Bigr)

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