Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limites:
6. lim (x, y) (0,0) x raiz[3]y^3+2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis, a saber lim(x,y)to(0,0) xraiz[3]y^3+2x. O conteúdo aqui é limites em várias variáveis, e vamos usar propriedades de limites, valor absoluto e desigualdades para aplicar o teorema do sanduíche.

Passo 2

Escrevemos a função e aplicamos valor absoluto para preparar uma cota. Definindo f(x,y)=xraiz[3]y^3+2x, temos:
|f(x,y)|=|x|cdot|y^3+2x|^1/3
Para lidar com |y^3+2x|, usamos |a+b|<=|a|+|b|, obtendo
|y^3+2x|<=|y|^3+2|x|implies|y^3+2x|^1/3<=(|y|^3+2|x|)^1/3

Passo 3

Para simplificar (|y|^3+2|x|)^1/3, usamos a desigualdade (a+b)^1/3<= a^1/3+b^1/3 para a=|y|^3 e b=2|x|. Assim:
(|y|^3+2|x|)^1/3<=|y|+2^1/3|x|^1/3
Logo,
|f(x,y)|<=|x|l(|y|+2^1/3|x|^1/3r)=|x|,|y|+2^1/3|x|^4/3

Passo 4

Agora observamos o comportamento de cada parcela quando (x,y)to(0,0):
  • |x|,|y|to0
  • |x|^4/3to0
    Portanto, |f(x,y)| tende a zero.

Passo 5

Pelo teorema do sanduíche (squeeze theorem), como
0<=|f(x,y)|<=|x|,|y|+2^1/3|x|^4/3to0,
então
lim(x,y)to(0,0)xraiz[3]y^3+2x=0

Resposta

0

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