Determine a derivada das seguintes funções:
(a) y=x cdot arctg x
(d) y=arctg(x^2)
(b) f(x)=arcsen(3 x)
(e) y=3 arctg(2 x+3)
(g) y=sen(3 x)arctg(4 x)
© y=arccos (x^4)
(f) y=ln (arctg x)
(h) y=x arcsen x+raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular derivadas de funções que envolvem funções inversas trigonométricas (arctg, arcsen, arccos), logaritmos, produtos e quocientes. Vamos precisar usar regras de derivação: regra do produto, regra do quociente, regra da cadeia e as derivadas conhecidas de arctg(u), arcsen(u), arccos(u), ln(u) e √u.

Passo 2

Para y=x·arctg x aplicamos a regra do produto u=x e v=arctg x. Temos u′=1 e v′=1/(1+x²). Logo

Passo 3

Para y=arctg(x²) usamos a regra da cadeia: se y=arctg(u) então y’=u’/(1+u²) com u=x² e u’=2x. Logo
y'=2x1+(x^2)^2=2x1+x^4

Passo 4

Para f(x)=arcsen(3x) aplicamos cadeia: y’=u’/√(1−u²) com u=3x e u’=3. Logo
f'(x)=3raiz1-(3x)^2=3raiz1-9x^2

Passo 5

Para y=arccos(x⁴) usamos y’=-u’/√(1−u²) com u=x⁴ e u’=4x³. Logo
y'= -4x^3raiz1-(x^4)^2= -4x^3raiz1-x^8

Passo 6

Para y=3·arctg(2x+3) a constante sai: y’=3·[derivada de arctg(2x+3)] e esta é (2)/(1+(2x+3)²). Logo
y'=61+(2x+3)^2

Passo 7

Para y=\dfrac{sen(3x)}{arctg(4x)} aplicamos a regra do quociente com u=sen(3x), u’=3cos(3x), v=arctg(4x), v’=4/(1+16x²). Então

Passo 8

Para y=ln(arctg x) usamos cadeia: y’=1/(arctg x)·(1/(1+x²)). Logo

Passo 9

Para y=x·arcsen x + √(1−x²) derivamos cada parcela. Na primeira, produto u=x, v=arcsen x dá u’=1, v’=1/√(1−x²), então derivada é arcsen x + x/√(1−x²). Na segunda, derivada de √(1−x²) é (1/(2√(1−x²)))·(−2x)=−x/√(1−x²). Somando, os termos x/√(1−x²) cancelam, sobrando arcsen x.

Resposta

As derivadas são:
(a) y’=;
(d) y’= arctg x + x1+x^2;
(b) f’(x)= 2x1+x^4;
(e) y’= 3raiz1-9x^2;
(g) y’=;
© y’= 61+(2x+3)^2;
(f) y’=;
(h) y’=.

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