Calcule d yd x dada a equação sen(y-x)=x e^y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, a partir da equação $ \sin(y - x) = x e^{y} $. Para isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica pra derivar equações onde $ y $ está misturado com $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferencial implícito: quando temos uma equação que relaciona $ y $ e $ x $ de forma que a gente não consegue isolar o $ y $ facilmente, a gente deriva ambos os lados da equação em relação a $ x $, tratando $ y $ como uma função de $ x $.
Então, vamos derivar ambos os lados da equação $ \sin(y - x) = x e^{y} $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos começar com o lado esquerdo da equação: $ \sin(y - x) $.
A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ x $ é $ \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} $. Aqui, $ u = y - x $, então:
sin(y - x)
Explicando: a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é $ \frac{dy}{dx} $, e a derivada de $ -x $ é $ -1 $.

Passo 4

Agora, vamos para o lado direito da equação: $ x e^{y} $.
Aqui, precisamos usar a regra do produto, porque temos $ x $ multiplicando $ e^{y} $. A regra do produto diz que $ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Então, temos:
x e^y
Sabemos que $ \frac{d}{dx} (x) = 1 $ e $ \frac{d}{dx} (e^{y}) = e^{y} \cdot \frac{dy}{dx} $, então:
x

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto:
cos(y - x) cdot ( dydx - 1 ) = e^y + x e^y cdot dydx
Nosso objetivo é isolar $ \frac{dy}{dx} $. Vamos distribuir $ \cos(y - x) $:
dydx

Passo 6

Agora, vamos reunir todos os termos com $ \frac{dy}{dx} $ de um lado e os termos sem $ \frac{dy}{dx} $ do outro:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 7

Finalmente, isolamos $ \frac{dy}{dx} $ dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
dydx

Resposta

A derivada $ \frac{dy}{dx} $ é:
dydx

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