Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
(e) y^prime=(4 x^2+y^2) /(x y)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
y'=4x^2+y^2xy
O conteúdo aqui é equações diferenciais homogêneas e separáveis, e vamos precisar usar a substituição típica y=ux para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Como usamos a substituição y=ux, temos
y'=u+xu'
e também y/x=u, então o lado direito vira
4x^2+y^2xy=4x^2+(ux)^2x(ux)=4x^2+u^2x^2u x^2=,u+4u
Igualando, obtemos
u+xu'=u+4u
Cancelando u de ambos os lados resulta em
x u'=4u

Passo 3

A equação agora é separável em u e x. Podemos escrever
u,du=4x,dx
Isso permite integrar cada lado independentemente.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral u,du=integral 4x,dx
u^22=4ln|x|+C
Multiplicando por 2 e reagrupando a constante temos
u^2=8ln|x|+C1

Passo 5

Finalmente desfazemos a substituição u=y/x e escrevemos a solução geral de forma implícita:
l(yxr)^2=8ln|x|+C1
Ou equivalentemente
y^2=x^2l(C1+8ln|x|r)

Resposta

(y/x)^2-8ln|x|=C

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