Uma partícula se movimenta entre os pontos (2,0,0) e (0,1, pi / 2) do espaço ao longo da hélice r(t):=(2 cos (t), sin (t), t). Considerando os campos vetoriais F(x, y, z):=-y i+x j+4 z k e G=nabla g onde g(x, y, z)=x+y-e^2 x y z, denotamos por TF e TG os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos F e G respectivamente. Então podemos concluir que:
TF>TG.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move de um ponto para seguindo uma hélice definida por . Queremos calcular o trabalho realizado por dois campos vetoriais diferentes, e , nessa trajetória e mostrar que . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre trabalho em campos vetoriais e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula ao longo de uma curva T = integralC F cdot dr é dado pela integral de linha:
onde é o campo vetorial e é o elemento de deslocamento na curva.

Passo 3

Vamos calcular TG = g(final) - g(inicial) primeiro, já que é um campo conservativo. Para campos conservativos, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final e é dado pela diferença dos potenciais:
A função potencial é .

Passo 4

Calculando g(2, 0, 0) = 2 + 0 - e^2 cdot 2 cdot 0 cdot 0 = 2 - e^0 = 2 - 1 = 1 nos pontos inicial e final:
g(0, 1, pi2) = 0 + 1 - e^2 cdot 0 cdot 1 cdot pi2 = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0
TG = 0 - 1 = -1
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular 2 cos(t) = 2 Rightarrow cos(t) = 1 Rightarrow t = 0 . Primeiro, precisamos parametrizar a hélice 2 cos(t) = 0 Rightarrow cos(t) = 0 Rightarrow t = pi2 e encontrar os limites de sin(t) = 1 Rightarrow t = pi2 que correspondem aos pontos inicial e final.
Dado t = pi2 :
  • Para o ponto inicial :
  • Para o ponto final :
Então, varia de a .

Passo 6

Agora, vamos expressar F(r(t)) = (-sin(t)) i + (2 cos(t)) j + 4z k = (-sin(t), 2 cos(t), 4t) ao longo da curva:
drdt = (-2 sin(t), cos(t), 1)
E o vetor diferencial dr = (-2 sin(t), cos(t), 1) dt é a derivada de em relação a :
Então,

Passo 7

O trabalho TF = integral0^pi2 F(r(t)) cdot drdt dt é então:
F(r(t)) cdot drdt = (-sin(t))(-2 sin(t)) + (2 cos(t))(cos(t)) + (4t)(1) = 2 sin^2(t) + 2 cos^2(t) + 4t
Fazendo o produto escalar:

Passo 8

Simplificando a expressão:
2 sin^2(t) + 2 cos^2(t) = 2(sin^2(t) + cos^2(t)) = 2(1) = 2
Então,
F(r(t)) cdot drdt = 2 + 4t
Agora, integramos de TF = integral0^pi2 (2 + 4t) dt = [ 2t + 2t^2 ]0^pi2 = 2 cdot pi2 + 2 ( pi2 )^2 = pi + pi^22 a :

Passo 9

Agora, temos pi approx 3,14 e pi^22 approx 4,93 e TF approx 3,14 + 4,93 = 8,07 . Vamos comparar os valores:
Então,
E .

Resposta

Portanto, , já que .

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