Uma partícula se movimenta entre os pontos
e
do espaço ao longo da hélice
. Considerando os campos vetoriais
e
onde
, denotamos por
e
os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos
e
respectivamente. Então podemos concluir que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move de um ponto
para
seguindo uma hélice definida por
. Queremos calcular o trabalho realizado por dois campos vetoriais diferentes,
e
, nessa trajetória e mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre trabalho em campos vetoriais e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
onde
é o campo vetorial e
é o elemento de deslocamento na curva.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro, já que
é um campo conservativo. Para campos conservativos, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final e é dado pela diferença dos potenciais:
A função potencial é
.
Passo 4
Calculando
nos pontos inicial e final:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Primeiro, precisamos parametrizar a hélice
e encontrar os limites de
que correspondem aos pontos inicial e final.
Dado
:
- Para o ponto inicial
: - Para o ponto final
:
Então,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, vamos expressar
ao longo da curva:
E o vetor diferencial
é a derivada de
em relação a
:
Então,
Passo 7
O trabalho
é então:
Fazendo o produto escalar:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Então,
Agora, integramos de
a
:
Passo 9
Agora, temos
e
. Vamos comparar os valores:
Então,
E
.
Resposta
Portanto,
, já que
.