Calcule d yd x se ln (x+y)=arctg(xy).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita ln(x+y)=arctanl(xyr). O conteúdo envolve derivadas implícitas, a regra da cadeia, derivada de ln(u) e de arctan(u). Vamos precisar aplicar a derivada em ambos os lados respeitando essas regras.

Passo 2

Derivar o lado esquerdo usando a regra da cadeia na função ln(u) com u=x+y:
$$
\frac{d}{dx}\ln(x+y) = \frac{1}{x+y} \cdot (1 + y’\n)$$
Derivar o lado direito considerando ddxln(x+y) = 1x+y cdot (1 + y'n): aplicar a derivada de u=x/y e a regra do quociente em arctan(u):
u

Passo 3

Igualar as duas derivadas e expandir os dois lados:
1 + y'x+y = y - x,y'x^2 + y^2 implies (1 + y')(x^2 + y^2) = (y - x,y')(x+y)
Expandindo:
x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)y' = x y + y^2 - x^2 y' - x y,y'

Passo 4

Agrupar os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
y'l((x^2 + y^2) + (x^2 + x y)r) = x y + y^2 - x^2 - y^2
Simplificando:
y'(2x^2 + x y + y^2) = x(y - x)

Passo 5

Por fim, isolamos y' dividindo ambos os lados por 2x^2 + x y + y^2.

Resposta

x(y - x)2x^2 + x y + y^2

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