Calcule as derivadas abaixo:
, onde
é a inversa de uma função
cuja derivada
seja conhecida.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão pede pra gente calcular a derivada de uma função inversa. Temos uma função $ f: (a, b) \rightarrow (c, d) $ que é a inversa da função $ g: (c, d) \rightarrow (a, b) $, e a derivada de $ g $, que é $ g’ $, já é conhecida. Ou seja, queremos encontrar $ f’ $ usando a informação que já temos sobre $ g’ $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como funciona a derivada de funções inversas. Se $ f $ é a inversa de $ g $, então $ f(g(x)) = x $ para todo $ x $ no domínio de $ g $. Agora, se derivarmos ambos os lados dessa igualdade em relação a $ x $, teremos:
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo.
Passo 3
Agora, queremos isolar $ f’(g(x)) $. Para isso, basta dividir ambos os lados da equação por $ g’(x) $:
Mas lembre-se que $ f $ é a inversa de $ g $, então $ g(x) = f^{-1}(x) $. Podemos reescrever a expressão acima substituindo $ g(x) $ por $ f^{-1}(x) $:
Resposta
A derivada da função inversa $ f $ é dada por: