Calcule as derivadas abaixo:
f:(a, b) (c, d), onde f é a inversa de uma função g:(c, d) (a, b) cuja derivada g^prime seja conhecida.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede pra gente calcular a derivada de uma função inversa. Temos uma função $ f: (a, b) \rightarrow (c, d) $ que é a inversa da função $ g: (c, d) \rightarrow (a, b) $, e a derivada de $ g $, que é $ g’ $, já é conhecida. Ou seja, queremos encontrar $ f’ $ usando a informação que já temos sobre $ g’ $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona a derivada de funções inversas. Se $ f $ é a inversa de $ g $, então $ f(g(x)) = x $ para todo $ x $ no domínio de $ g $. Agora, se derivarmos ambos os lados dessa igualdade em relação a $ x $, teremos:
f
Aqui, usamos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo.

Passo 3

Agora, queremos isolar $ f’(g(x)) $. Para isso, basta dividir ambos os lados da equação por $ g’(x) $:
f'(g(x))
Mas lembre-se que $ f $ é a inversa de $ g $, então $ g(x) = f^{-1}(x) $. Podemos reescrever a expressão acima substituindo $ g(x) $ por $ f^{-1}(x) $:
g'(x)

Resposta

A derivada da função inversa $ f $ é dada por:
f

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