Calcule as derivadas abaixo:
Calcule as derivadas de ordem segunda e terceira de
em termos de
e
e suas derivadas, onde
são funções infinitamente deriváveis.
Calcule as derivadas de ordem segunda e terceira de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas de segunda e terceira ordem da função $ f(x) = \psi(g(x)) $. Isso está no campo de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar conhecer as derivadas de $ \psi $ e $ g $ para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Quando temos uma função composta como $ f(x) = \psi(g(x)) $, a derivada primeira $ f’(x) $ é dada por:
Ou seja, a derivada de $ \psi $ avaliada em $ g(x) $, multiplicada pela derivada de $ g $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de segunda ordem, $ f’’(x) $. Para isso, precisamos derivar $ f’(x) $:
Aqui, usamos a regra do produto porque temos um produto de duas funções: $ \psi’(g(x)) $ e $ g’(x) $.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Explicando: a primeira parte vem da derivação de $ \psi’(g(x)) $ que dá $ \psi’’(g(x)) \cdot g’(x) $, multiplicado por $ g’(x) $. A segunda parte é $ \psi’(g(x)) $ multiplicado pela derivada de $ g’(x) $, que é $ g’’(x) $.
Passo 5
Agora, vamos para a derivada de terceira ordem, $ f’’’(x) $. Precisamos derivar $ f’’(x) $:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 6
Derivando o primeiro termo:
Aqui, usamos novamente a regra do produto e a cadeia. A derivada de $ \psi’’(g(x)) $ é $ \psi’’’(g(x)) \cdot g’(x) $ multiplicado por $ [g’(x)]^2 $, dando $ \psi’’’(g(x)) \cdot [g’(x)]^3 $. A segunda parte vem de derivar $ [g’(x)]^2 $, que é $ 2g’(x) \cdot g’’(x) $, multiplicado por $ \psi’’(g(x)) $.
Passo 7
Derivando o segundo termo:
Mais uma vez, usamos a regra do produto. A derivada de $ \psi’(g(x)) $ é $ \psi’’(g(x)) \cdot g’(x) $ multiplicada por $ g’’(x) $, e a derivada de $ g’’(x) $ é $ g’’’(x) $ multiplicada por $ \psi’(g(x)) $.
Passo 8
Juntando tudo, a derivada de terceira ordem fica:
Resposta
As derivadas de segunda e terceira ordem de $ f(x) = \psi(g(x)) $ são: