Calcule as derivadas abaixo:
Calcule as derivadas de ordem segunda e terceira de
f(x):=psi(g(x)),
em termos de psi e g e suas derivadas, onde varphi: R R, g: R R são funções infinitamente deriváveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas de segunda e terceira ordem da função $ f(x) = \psi(g(x)) $. Isso está no campo de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar conhecer as derivadas de $ \psi $ e $ g $ para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da cadeia. Quando temos uma função composta como $ f(x) = \psi(g(x)) $, a derivada primeira $ f’(x) $ é dada por:
f(x) = psi(g(x))
Ou seja, a derivada de $ \psi $ avaliada em $ g(x) $, multiplicada pela derivada de $ g $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de segunda ordem, $ f’’(x) $. Para isso, precisamos derivar $ f’(x) $:
f''(x)
Aqui, usamos a regra do produto porque temos um produto de duas funções: $ \psi’(g(x)) $ e $ g’(x) $.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f''(x) = psi''(g(x)) cdot [g'(x)]^2 + psi'(g(x)) cdot g''(x)
Explicando: a primeira parte vem da derivação de $ \psi’(g(x)) $ que dá $ \psi’’(g(x)) \cdot g’(x) $, multiplicado por $ g’(x) $. A segunda parte é $ \psi’(g(x)) $ multiplicado pela derivada de $ g’(x) $, que é $ g’’(x) $.

Passo 5

Agora, vamos para a derivada de terceira ordem, $ f’’’(x) $. Precisamos derivar $ f’’(x) $:
f'''(x)
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 6

Derivando o primeiro termo:
ddx [psi''(g(x)) cdot [g'(x)]^2] = psi'''(g(x)) cdot [g'(x)]^3 + 2psi''(g(x)) cdot g'(x) cdot g''(x)
Aqui, usamos novamente a regra do produto e a cadeia. A derivada de $ \psi’’(g(x)) $ é $ \psi’’’(g(x)) \cdot g’(x) $ multiplicado por $ [g’(x)]^2 $, dando $ \psi’’’(g(x)) \cdot [g’(x)]^3 $. A segunda parte vem de derivar $ [g’(x)]^2 $, que é $ 2g’(x) \cdot g’’(x) $, multiplicado por $ \psi’’(g(x)) $.

Passo 7

Derivando o segundo termo:
ddx [psi'(g(x)) cdot g''(x)] = psi''(g(x)) cdot g'(x) cdot g''(x) + psi'(g(x)) cdot g'''(x)
Mais uma vez, usamos a regra do produto. A derivada de $ \psi’(g(x)) $ é $ \psi’’(g(x)) \cdot g’(x) $ multiplicada por $ g’’(x) $, e a derivada de $ g’’(x) $ é $ g’’’(x) $ multiplicada por $ \psi’(g(x)) $.

Passo 8

Juntando tudo, a derivada de terceira ordem fica:
f'''(x) = psi'''(g(x)) cdot [g'(x)]^3 + 3psi''(g(x)) cdot g'(x) cdot g''(x) + psi'(g(x)) cdot g'''(x)

Resposta

As derivadas de segunda e terceira ordem de $ f(x) = \psi(g(x)) $ são:
f(x) = psi(g(x))
f''(x) = psi''(g(x)) cdot [g'(x)]^2 + psi'(g(x)) cdot g''(x)

Exercícios relacionados