Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
integral x d xraizx^2-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x,dxraizx^2-2. O conteúdo aqui é integração por substituição, já que vemos embaixo da raiz uma expressão quadrática em x.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = x^2 - 2. Então temos
du = 2x,dx
ou seja,
x,dx = du2
Substituindo na integral original,
integral x,dxraizx^2-2 = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-tfrac12 ,du
Integrando,
12 integral u^-tfrac12 ,du = 12 cdot u^tfrac12tfrac12 + C = u^tfrac12 + C = raizu + C
Voltando a x, obtemos raizx^2-2 + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos o resultado:
ddxl(raizx^2-2r) = 12raizx^2-2 cdot 2x = xraizx^2-2,
que é exatamente o integrando original. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

raizx^2-2 + C

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