Calcule d yd x nos seguintes casos:
yx-y=x^2+1;

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
yx - y = x^2+1
e pede tfracdydx.
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, usando regra do quociente e depois isolar y'.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x - y) para eliminar o denominador, obtendo uma forma mais fácil de diferenciar:
y = (x - y),(x^2+1)

Passo 3

Agora derivamos os dois lados em relação a x. No lado esquerdo aparece y, cuja derivada é y'. No direito temos produto de u = x - y e v = x^2+1, então aplicamos a regra do produto:
ddx[,y,] = ddx[,u,v,] Longrightarrow y' = (1 - y')(x^2+1) + (x - y)cdot 2x

Passo 4

Expandimos e agrupamos todos os termos que contêm y' de um lado:
y' = (x^2+1) - y'(x^2+1) + 2x(x - y) Longrightarrow y' + y'(x^2+1) = x^2+1 + 2x(x - y)
Em seguida, fatoramos y' no lado esquerdo:
y'l(1 + x^2+1r) = x^2+1 + 2x(x - y) Longrightarrow y'(x^2+2) = x^2+1 + 2x(x - y)

Passo 5

Por fim, isolamos y':
y' = x^2+1 + 2x(x - y)x^2+2 = 3x^2 + 1 - 2x,yx^2+2

Resposta

dydx = 3x^2 + 1 - 2x,yx^2+2

Exercícios relacionados