Calcule d zd t de:
z=ln (x^4+2 x^2 y+3 y^2) com x=t e y=2 t^2

Passo 1

O enunciado define
z=lnl(x^4+2x^2y+3y^2r)
com x=t e y=2t^2, e pede dzdt.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia em funções de duas variáveis e derivadas parciais.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=x^4+2x^2y+3y^2,
de modo que z=lnl(f(x,y)r). Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=4x^3+4xy,
partial fpartial y=2x^2+6y

Passo 3

Pela regra da cadeia em duas variáveis,
dfdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt

Passo 4

Como x=t e y=2t^2, temos
dxdt=1, dydt=4t
Substituindo em dfdt:
dfdt =(4x^3+4xy)cdot1+(2x^2+6y)cdot4t
Agora aplicando x=t e y=2t^2:
dfdt =4t^3+8t^3+56t^3 =68t^3

Passo 5

O argumento do logaritmo avaliado em x=t, y=2t^2 é
f(t) =t^4+2t^2cdot2t^2+3(2t^2)^2 =17t^4

Passo 6

Como z=lnl(f(t)r),
dzdt =1f(t),dfdt =68t^317t^4 =4t

Resposta

dzdt=4t

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