Exercício 7) A temperatura
em um ponto qualquer
da placa
:
é dada por
. Encontre os pontos de máximo e de mínimo local de T. Encontre os pontos mais quentes e mais frios da placa e suas respectivas temperaturas.
Passo 1
O enunciado define a função
em
. Queremos achar os pontos de máximo e mínimo local (no domínio restrito) e, em seguida, os pontos onde
atinge seu valor mínimo e seu valor máximo na placa (extremos globais).
Passo 2
Procuramos críticos no interior de
, onde
e
. Calculamos gradiente:
Impondo
dá
logo
e
está de fato no interior de
.
Passo 3
O Hessiano é
que é definido-positivo. Portanto
é ponto de mínimo local com
Passo 4
Na fronteira semicircular
,
, usamos Lagrange com
As condições
só permitem a solução
. Em
vale
Passo 5
Na aresta reta
, temos
Esse restrito a
atinge mínimo em
com
e máximo nos extremos
com
Passo 6
Os candidatos a extremos locais em
são
- mínimo local interior:
com , - máximo local na fronteira reta:
e com .
Não há outro máximo local no interior nem outro mínimo local.
Comparando valores, o menor valor deem toda a placa é em e o maior é em e .
Resposta
Local mínimo:
com
.
Local máximos: e
com
.
Local máximos:
Mínimo global (mais frio):
,
.
Máximos globais (mais quentes): e
,
.
Máximos globais (mais quentes):