Exercício 7) A temperatura T em um ponto qualquer (x, y) da placa D : x^2+y^2 <= 4, y >= 0 é dada por T(x, y)=x^2+y^2-2 y. Encontre os pontos de máximo e de mínimo local de T. Encontre os pontos mais quentes e mais frios da placa e suas respectivas temperaturas.

Passo 1

O enunciado define a função
T(x,y)=x^2+y^2-2y
em D=(x,y)mid x^2+y^2<=4,;y>=0. Queremos achar os pontos de máximo e mínimo local (no domínio restrito) e, em seguida, os pontos onde T atinge seu valor mínimo e seu valor máximo na placa (extremos globais).

Passo 2

Procuramos críticos no interior de D, onde x^2+y^2<4 e y>0. Calculamos gradiente:
nabla T(x,y)=(2x,;2y-2)
Impondo nabla T=0
2x=0, 2y-2=0
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x=0, y=1,
e (0,1) está de fato no interior de D.

Passo 3

O Hessiano é
H=2&00&2,
que é definido-positivo. Portanto (0,1) é ponto de mínimo local com
T(0,1)=0^2+1^2-2cdot1=-1

Passo 4

Na fronteira semicircular x^2+y^2=4, y>=0, usamos Lagrange com
g(x,y)=x^2+y^2-4=0
As condições
2x=lambda,2x, 2y-2=lambda,2y
só permitem a solução x=0,;y=2. Em (0,2) vale
T(0,2)=0^2+2^2-2cdot2=0

Passo 5

Na aresta reta y=0,;xin[-2,2], temos
T(x,0)=x^2
Esse restrito a [-2,2] atinge mínimo em x=0 com T(0,0)=0 e máximo nos extremos x=pm2 com
T(pm2,0)=4

Passo 6

Os candidatos a extremos locais em D são
  • mínimo local interior: (0,1) com T=-1,
  • máximo local na fronteira reta: (2,0) e (-2,0) com T=4.
    Não há outro máximo local no interior nem outro mínimo local.
    Comparando valores, o menor valor de T em toda a placa é -1 em (0,1) e o maior é 4 em (2,0) e (-2,0).

Resposta

Local mínimo: (0,1) com T=-1.
Local máximos: (2,0) e (-2,0) com T=4.
Mínimo global (mais frio): (0,1), T=-1.
Máximos globais (mais quentes): (2,0) e (-2,0), T=4.

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