calcule d zd t
z=raizx exp x y x=t ; y=t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o cálculo de dzdt onde temos z = raizx exp(x y), e as variáveis são dadas por x = t e y = t^2. O conteúdo que vamos usar aqui é derivação com funções compostas, aplicando a regra da cadeia. Precisamos saber como derivar expressões que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que dependem de t. Temos:
z = raizx exp(x y)
com
x = t e y = t^2
Então, z é uma função de x e y, que por sua vez são funções de t.

Passo 3

Para encontrar dzdt, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nesse caso é:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Ou seja, derivamos z em relação a x e a y, e multiplicamos pelas derivadas de x e y em relação a t.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Primeiro, partial zpartial x:
z = raizx exp(x y) = x^1/2 e^x y
Derivando em relação a x:
partial zpartial x = 12 x^-1/2 e^x y + x^1/2 e^x y cdot y
Simplificando:
partial zpartial x = e^x y ( 12 x^-1/2 + y x^1/2 )

Passo 5

Agora, partial zpartial y:
z = x^1/2 e^x y
Derivando em relação a y:
partial zpartial y = x^1/2 e^x y cdot x = x^3/2 e^x y

Passo 6

Agora, vamos calcular dxdt e dydt:
x = t Rightarrow dxdt = 1
y = t^2 Rightarrow dydt = 2t

Passo 7

Substituindo tudo de volta na regra da cadeia:
dzdt = e^x y ( 12 x^-1/2 + y x^1/2 ) cdot 1 + x^3/2 e^x y cdot 2t

Passo 8

Agora, substituímos x = t e y = t^2:
dzdt = e^t cdot t^2 ( 12 t^-1/2 + t^2 t^1/2 ) + t^3/2 e^t cdot t^2 cdot 2t
Simplificando:
dzdt = e^t^3 ( 12 t^-1/2 + t^5/2 ) + 2 t^5/2 e^t^3

Passo 9

Finalmente, podemos fatorar e^t^3 e simplificar os termos:
dzdt = e^t^3 ( 12 t^-1/2 + 3 t^5/2 )

Resposta

dzdt = e^t^3 ( 12 t^-1/2 + 3 t^5/2 )

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