Prova 1 de Cálculo 2 -
Unifesp-
Determine as derivadas parciais de promeira ordem
l a-) w(alpha, beta)=sin alpha cos (alpha) b-) F(x, y)=integraly^x cos (exp t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois exercícios de cálculo que pedem para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. No primeiro, temos a função $ w(\alpha, \beta) = \sin \alpha \cos \alpha $, e no segundo, a função $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos (\exp t) , dt $. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e, no segundo caso, também sobre o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). A função é $ w(\alpha, \beta) = \sin \alpha \cos \alpha $. Como a função depende de w(alpha, beta) = sin alpha cos alpha e alpha, mas beta não aparece na expressão, a derivada parcial em relação a beta será zero.

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada parcial de $ w $ em relação a w , usamos as regras de derivação. A função é o produto de alpha e sin alpha, então vamos aplicar a regra do produto: se $ u = \sin \alpha $ e $ v = \cos \alpha $, então $ \frac{\partial w}{\partial \alpha} = u’v + uv’ $.

Passo 4

Calculando as derivadas:
$ u’ = \cos \alpha $ e $ v’ = -\sin \alpha $. Substituindo na regra do produto:
u' = cos alpha
Essa expressão é igual ao v' = -sin alpha , mas mantendo na forma de partial wpartial alpha = cos alpha cdot cos alpha + sin alpha cdot (-sin alpha) = cos^2 alpha - sin^2 alpha está ótimo.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). A função é $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos (\exp t) , dt $. Queremos encontrar as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 6

Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt $, então $ \frac{dF}{dx} = f(x) $. Aplicando isso às variáveis $ x $ e $ y $:
  • A derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $ é simplesmente a função dentro da integral avaliada em $ x $:
F(x) = integrala^x f(t) , dt

Passo 7

  • Já a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ é o negativo da função dentro da integral avaliada em $ y $:
F
Isso acontece porque $ y $ é o limite inferior da integral.

Resposta

a) As derivadas parciais de $ w(\alpha, \beta) = \sin \alpha \cos \alpha $ são:
w(alpha, beta) = sin alpha cos alpha
partial wpartial alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha
b) As derivadas parciais de $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos (\exp t) , dt $ são:
partial wpartial beta = 0
F(x, y) = integraly^x cos (exp t) , dt

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