Prova 1 de Cálculo 2 -
Unifesp-
Determine as derivadas parciais de promeira ordem
Unifesp-
Determine as derivadas parciais de promeira ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois exercícios de cálculo que pedem para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. No primeiro, temos a função $ w(\alpha, \beta) = \sin \alpha \cos \alpha $, e no segundo, a função $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos (\exp t) , dt $. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e, no segundo caso, também sobre o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). A função é $ w(\alpha, \beta) = \sin \alpha \cos \alpha $. Como a função depende de
e
, mas
não aparece na expressão, a derivada parcial em relação a
será zero.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada parcial de $ w $ em relação a
, usamos as regras de derivação. A função é o produto de
e
, então vamos aplicar a regra do produto: se $ u = \sin \alpha $ e $ v = \cos \alpha $, então $ \frac{\partial w}{\partial \alpha} = u’v + uv’ $.
Passo 4
Calculando as derivadas:
$ u’ = \cos \alpha $ e $ v’ = -\sin \alpha $. Substituindo na regra do produto:
$ u’ = \cos \alpha $ e $ v’ = -\sin \alpha $. Substituindo na regra do produto:
Essa expressão é igual ao
, mas mantendo na forma de
está ótimo.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). A função é $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos (\exp t) , dt $. Queremos encontrar as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 6
Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt $, então $ \frac{dF}{dx} = f(x) $. Aplicando isso às variáveis $ x $ e $ y $:
- A derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $ é simplesmente a função dentro da integral avaliada em $ x $:
Passo 7
- Já a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ é o negativo da função dentro da integral avaliada em $ y $:
Isso acontece porque $ y $ é o limite inferior da integral.
Resposta
a) As derivadas parciais de $ w(\alpha, \beta) = \sin \alpha \cos \alpha $ são:
b) As derivadas parciais de $ F(x, y) = \int_{y}^{x} \cos (\exp t) , dt $ são: