Resolva fazendo a substituição
:
.
Passo 1
Primeiro, resumo do enunciado: queremos resolver a equação diferencial
usando a substituição
. Esse é um ODE de segunda ordem e vamos transformá-lo em uma ODE de primeira ordem em
.
Passo 2
Com a substituição
, temos
. Pela regra da cadeia,
. Substituindo na equação original obtemos
Passo 3
Fatorando
na expressão acima dá
Isso gera dois ramos de solução: ou
Passo 4
No primeiro ramo,
significa
. Integrando, obtemos a solução trivial constante
Passo 5
No segundo ramo, resolvemos
.
Isolando a derivada:
Isolando a derivada:
Integrando em relação a
Logo
Passo 6
Agora temos uma equação de primeira ordem separável:
Vamos integrar:
Passo 7
Para fazer essa integral, usamos a substituição
, de modo que
,
e
. Então
Integrando,
Voltando a
:
Passo 8
Reorganizando e absorvendo constantes em
, obtemos a solução implícita geral
Resposta
As soluções gerais são\n1)
\n2) implicitamente
, onde
são constantes arbitrárias.