Resolva fazendo a substituição v=y^prime :
y^2 y^prime prime-y^prime=0.

Passo 1

Primeiro, resumo do enunciado: queremos resolver a equação diferencial y^2 y'' - y' = 0 usando a substituição v = y'. Esse é um ODE de segunda ordem e vamos transformá-lo em uma ODE de primeira ordem em v(y).

Passo 2

Com a substituição v = dydx, temos y'' = dvdx. Pela regra da cadeia, dvdx = dvdydydx = vdvdy. Substituindo na equação original obtemos
y^2l(vdvdyr) - v = 0

Passo 3

Fatorando v na expressão acima dá
vl(y^2dvdy - 1r) = 0
Isso gera dois ramos de solução: ou v=0 ou y^2dvdy = 1.

Passo 4

No primeiro ramo, v = 0 significa dydx = 0. Integrando, obtemos a solução trivial constante
boxedy = C1

Passo 5

No segundo ramo, resolvemos y^2dvdy = 1.
Isolando a derivada:
dvdy = 1y^2
Integrando em relação a y:
integral dv = integral y^-2 dy Longrightarrow v = -1y + C2
Logo
dydx = v = C2 - 1y

Passo 6

Agora temos uma equação de primeira ordem separável:
dydx = C2 - 1yLongrightarrow dx = dyC2 - 1y = y,dyC2 y - 1
Vamos integrar:
integral dx = integral y,dyC2 y - 1

Passo 7

Para fazer essa integral, usamos a substituição u = C2 y - 1, de modo que du = C2 dy, y = u+1C2 e dy = duC2. Então
integral y,dyC2 y - 1 = integral (u+1)/C2ucdotduC2 = 1C2^2integrall(1 + 1ur)du
Integrando,
1C2^2l(u + ln|u|r) + C3
Voltando a y:
1C2^2l(C2 y - 1 + ln|C2 y - 1|r) + C3 = x

Passo 8

Reorganizando e absorvendo constantes em C3, obtemos a solução implícita geral
boxedC2 y + lnlvert C2 y - 1rvert = C2^2 x + C3,além da solução degenerada y = C1.

Resposta

As soluções gerais são\n1) y = C1\n2) implicitamente C2 y + ln|C2 y -1| = C2^2 x + C3, onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias.

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