Calcule dd t[z(r(t), s(t))], sendo:
z=ln (r+s), r=e^-2 t, s=t^3-t^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a t de uma função composta z(r(t),s(t)), sendo z=ln(r+s), r=e^-2t e s=t^3-t^2. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis e vamos precisar das derivadas parciais de z e das derivadas de r(t) e s(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z(u,v)=ln(u+v). Como a derivada de ln(w) em relação a w é 1/w, temos
partial zpartial r=1r+s,partial zpartial s=1r+s

Passo 3

Em seguida, achamos as derivadas de r(t) e s(t):
d rd t=ddte^-2t=-2e^-2t,d sd t=ddt(t^3-t^2)=3t^2-2t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt=partial zpartial rdrdt+partial zpartial sdsdt

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de r e s,
dzdt=1r+sl(-2e^-2t+3t^2-2tr)

Passo 6

Por fim, voltamos r e s para suas expressões em t:
r+s=e^-2t+t^3-t^2,
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dzdt=-2e^-2t+3t^2-2te^-2t+t^3-t^2

Resposta

-2e^-2t+3t^2-2te^-2t+t^3-t^2

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