Calcule dd t[z(r(t), s(t))], sendo:
z=r^2-s tg r, r=sin ^2 t, s=cos t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ddt[z(r(t),s(t))], onde z = r^2 - s tan r, r = sin^2 t e s = cos t. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, junto com derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas parciais de z(r,s):
partial zpartial r = 2r - s,sec^2 r
partial zpartial s = -tan r

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de r(t) e s(t):
drdt = ddt(sin^2 t) = 2sin tcos t = sin(2t)
dsdt = ddt(cos t) = -sin t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial rdrdt + partial zpartial sdsdt
Substituindo as derivadas parciais e as derivadas temporais:

Passo 5

Substituindo ainda r = sin^2 t e s = cos t, obtemos:
dzdt = l(2sin^2 t - cos tsec^2(sin^2 t)r)sin(2t) + sin t,tan(sin^2 t)

Resposta

dzdt = l(2sin^2 t - cos t,sec^2(sin^2 t)r)sin(2t) + sin t,tan(sin^2 t)

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