Calcule
(dd x 1+ln (x)e^x)x=1
e identifique as propriedades da operação de derivação usadas.

Passo 1

Temos que calcular a derivada de f(x)=1+ln(x)e^x em x=1. O conteúdo é diferenciação de funções logarítmica e exponencial, e vamos precisar das regras de derivação (produto, cadeia e linearidade).

Passo 2

Reescrevemos f(x) como produto para facilitar:
f(x)=(1+ln(x)),e^-x

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=(1+ln(x))'cdot e^-x + (1+ln(x))cdot (e^-x)'

Passo 4

Calculamos as derivadas das partes usando linearidade e regra da cadeia:
(1+ln(x))'=0+1x=1x, (e^-x)'=e^-xcdot(-1)=-e^-x

Passo 5

Substituímos em f'(x) e simplificamos:
f'(x)=1xe^-x - (1+ln(x))e^-x=e^-xl(1x-1-ln(x)r)

Passo 6

Agora avaliamos em x=1:
f'(1)=e^-1l(11-1-ln(1)r)=e^-1(1-1-0)=0

Passo 7

As propriedades usadas foram: regra do produto, regra da cadeia (para e^-x) e linearidade da derivada.

Resposta

0

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