Usando (i) a definição de derivada a partir do limite, (ii) a aproximação
, válida quando
, e (iii) o limite fundamental
, calcule
.
Passo 1
A questão pede para calcular a derivada de f(x)=x^x usando (i) a definição de derivada via limite, (ii) a aproximação (1+b)^a≈1+ab para b≪1 e (iii) o limite fundamental lim_{t→0}(c^t−1)/t=ln©. Vamos combinar essas ideias para manipular o quociente de diferença.
Passo 2
Pela definição de derivada escrevemos:
Para facilitar, fatoramos x^x dentro do numerador e obtemos:
Passo 3
Como h/x≪1, aplicamos (1+b)^a≈1+ab com b=h/x e a=x e achamos:
Passo 4
Para aproximar (x+h)^h, escrevemos c=x+h e t=h. Do limite fundamental:
Logo, para pequeno h,
Passo 5
Multiplicando as duas aproximações e desprezando termos de ordem h^2:
Passo 6
Substituindo na definição de f’(x):
Resposta
x^x,(1+\ln x)