Usando (i) a definição de derivada a partir do limite, (ii) a aproximação (1+b)^a=1+a b, válida quando b ll 1, e (iii) o limite fundamental lim t 0 c^t-1t=ln (c), calcule dd x x^x.

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de f(x)=x^x usando (i) a definição de derivada via limite, (ii) a aproximação (1+b)^a≈1+ab para b≪1 e (iii) o limite fundamental lim_{t→0}(c^t−1)/t=ln©. Vamos combinar essas ideias para manipular o quociente de diferença.

Passo 2

Pela definição de derivada escrevemos:
f'(x)=limhto0(x+h)^x+h-x^xh
Para facilitar, fatoramos x^x dentro do numerador e obtemos:
f'(x)=x^xlimhto0(1+tfrachx)^x,(x+h)^h-1h

Passo 3

Como h/x≪1, aplicamos (1+b)^a≈1+ab com b=h/x e a=x e achamos:
(1+tfrachx)^x≈1+xcdottfrachx=1+h

Passo 4

Para aproximar (x+h)^h, escrevemos c=x+h e t=h. Do limite fundamental:
limhto0(x+h)^h-1h=ln(x+h)toln x
Logo, para pequeno h,
(x+h)^h≈1+hln x

Passo 5

Multiplicando as duas aproximações e desprezando termos de ordem h^2:
(1+h)(1+hln x)=1+h+hln x+O(h^2)=1+h(1+ln x)+O(h^2)

Passo 6

Substituindo na definição de f’(x):
f'(x)=x^xlimhto01+h(1+ln x)-1+O(h^2)h=x^x(1+ln x)

Resposta

x^x,(1+\ln x)

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