Calcule:
dd x integral0^x (t^3 e^t)t^2+1 d t

Passo 1

Primeiro, resumindo o que o enunciado pede: calcular a derivada de integral0^xt^3e^tt^2+1,dt. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas.

Passo 2

Em segundo lugar, vamos enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo parte 2: se definirmos F(x)=integrala^xf(t),dt, então F'(x)=f(x). Isso significa que a derivada de uma integral com limite superior variável é simplesmente o integrando avaliado no limite.

Passo 3

Em terceiro lugar, identificamos o integrando f(t)=t^3e^tt^2+1. Aplicando o teorema ao caso F(x)=integral0^xf(t),dt, temos ddxintegral0^xf(t),dt = f(x).

Passo 4

Por fim, substituímos t por x na expressão de f(t). Assim, a derivada pedida é x^3e^xx^2+1.

Resposta

x^3e^xx^2+1

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