Calcule:
dd x integralx^x^3 y^2 raiz2 y+1 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular ddxintegralx^x^3 y^2raiz2y+1,dy. O conteúdo é a regra de Leibniz para diferenciação de uma integral com limites dependentes de x, e vamos precisar reconhecer os limites e a função integranda.

Passo 2

Para aplicar a regra de Leibniz, identificamos:
a(x)=x, b(x)=x^3 e f(y)=y^2raiz2y+1.
Pela regra, temos:
ddxintegrala(x)^b(x)f(y),dy = f(b(x)),b'(x) - f(a(x)),a'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites: a'(x)=1 e b'(x)=3x^2.
Em seguida avaliamos a integranda nos limites:
f(b(x)) = (x^3)^2raiz2x^3+1 = x^6raiz2x^3+1,
f(a(x)) = x^2raiz2x+1

Passo 4

Substituindo na fórmula de Leibniz, obtemos:
ddxintegralx^x^3 y^2raiz2y+1,dy = x^6raiz2x^3+1cdot3x^2 - x^2raiz2x+1

Passo 5

Finalmente, podemos simplificar o primeiro termo:
3x^2cdot x^6raiz2x^3+1 = 3x^8raiz2x^3+1

Resposta

3x8\sqrt{2x3+1} - x^2\sqrt{2x+1}

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