Calcule:
integral tg^3 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan^3theta,dtheta. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade tan^2theta = sec^2theta - 1 e método de substituição.

Passo 2

Usando a identidade, escrevemos tan^3theta = tantheta,(tan^2theta) = tantheta,(sec^2theta - 1). Assim a integral vira:
integral tan^3theta,dtheta = integral tantheta,sec^2theta,dtheta - integral tantheta,dtheta

Passo 3

Para a primeira parcela integral tantheta,sec^2theta,dtheta, fazemos a substituição u = tantheta, logo du = sec^2theta,dtheta. Então
integral tantheta,sec^2theta,dtheta = integral u,du = u^22 = tan^2theta2 + C1

Passo 4

Para a segunda parcela integral tantheta,dtheta, recordamos que
integral tantheta,dtheta = -lnl|costhetar| + C2

Passo 5

Juntando os dois resultados e absorvendo constantes em uma única constante C, temos
integral tan^3theta,dtheta = tan^2theta2 -l(-lnlvertcosthetarvertr) + C = tan^2theta2 + lnl|costhetar| + C

Resposta

tan^2theta2 + lnl|costhetar| + C

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