Calcule
dd x integralx^raizx e^t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em x da integral com limites que dependem de x:
ddxintegralx^raizxe^t^2,dt
O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para differenciação de uma integral cujos limites são funções de x, combinada com a regra da cadeia para derivar esses limites.

Passo 2

A regra de Leibniz diz que, para a(x), b(x) diferenciáveis e f contínua,
ddxintegrala(x)^b(x)f(t),dt = fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Aqui temos
a(x)=x, b(x)=raizx, f(t)=e^t^2
Logo,
a'(x)=1, b'(x)=ddxraizx=12raizx

Passo 4

Aplicando a regra de Leibniz:
ddxintegralx^raizxe^t^2,dt = e^(raizx)^2cdot12raizx - e^xcdot1

Passo 5

Como (raizx)^2=x, fica
ddxintegralx^raizxe^t^2,dt = e^x2raizx ;-; e^x = e^xl(12raizx-1r)

Resposta

ddxintegralx^raizxe^t^2,dt = e^x2raizx ;-; e^x = e^xl(12raizx-1r)

Exercícios relacionados