Faça um esboço e calcule a área da região fechada entre as curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela reta
e pela parábola invertida
. O conteúdo principal aqui é área entre curvas, que envolve encontrar interseções e integrar a diferença entre as funções.
Passo 2
Antes de partir para a conta, vamos esboçar qualitativamente as duas curvas: a reta
é uma linha de inclinação 1 que cruza o eixo
em 1. A parábola
é côncava para baixo com vértice em
. A região fechada fica onde elas se cruzam e entre esses cruzamentos a parábola fica acima da reta.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos
e
:
Expandindo e rearranjando:
Resolvendo a equação do segundo grau:
Passo 4
Agora definimos a área como o integral da função de cima menos a de baixo entre
e
. Como para qualquer
nesse intervalo temos
,
Simplificando o integrando:
Passo 5
Vamos calcular o integral:
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região é
unidades de área.