Faça um esboço e calcule a área da região fechada entre as curvas f(x)=x+1 e g(x)=4-(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela reta f(x)=x+1 e pela parábola invertida g(x)=4-(x-1)^2. O conteúdo principal aqui é área entre curvas, que envolve encontrar interseções e integrar a diferença entre as funções.

Passo 2

Antes de partir para a conta, vamos esboçar qualitativamente as duas curvas: a reta f(x)=x+1 é uma linha de inclinação 1 que cruza o eixo y em 1. A parábola g(x)=4-(x-1)^2 é côncava para baixo com vértice em (1,4). A região fechada fica onde elas se cruzam e entre esses cruzamentos a parábola fica acima da reta.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos f(x) e g(x):
x+1 = 4-(x-1)^2
Expandindo e rearranjando:
(x-1)^2 + x -3 = 0 implies x^2 -2x+1 + x -3 = 0 implies x^2 - x -2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
x = 2 ou x = -1

Passo 4

Agora definimos a área como o integral da função de cima menos a de baixo entre x=-1 e x=2. Como para qualquer x nesse intervalo temos g(x)>= f(x),
A = integral-1^2 l(g(x) - f(x)r),dx = integral-1^2 l[4-(x-1)^2 - (x+1)r],dx
Simplificando o integrando:
g(x)-f(x) = 4 - (x^2 -2x+1) - x -1 = 2 + x - x^2

Passo 5

Vamos calcular o integral:
A = integral-1^2 (2 + x - x^2),dx = l[2x + tfracx^22 - tfracx^33r]-1^2
Avaliação em x=2:
2cdot2 + tfrac2^22 - tfrac2^33 = 4 + 2 - tfrac83 = 6 - tfrac83 = tfrac103
Avaliação em x=-1:
2(-1) + tfrac(-1)^22 - tfrac(-1)^33 = -2 + tfrac12 + l(+tfrac13r) = -2 + tfrac56 = -tfrac76
Subtraindo:
A = tfrac103 - (-tfrac76) = tfrac103 + tfrac76 = tfrac20+76 = tfrac276 = tfrac92

Resposta

A área da região é tfrac92 unidades de área.

Exercícios relacionados