Calcule:
dd x ln raiz2^x+1(tg x-1)^3

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
ddxlnraiz2^x+1(tg x-1)^3
O conteúdo principal é usar as propriedades do logaritmo e a regra da cadeia. Vamos precisar de:
  1. ddxln f(x)=f'(x)f(x).
  2. lnAB= ln A - ln B e lnl(B^3r)=3ln B.
  3. ddx2^x=2^xln2 e ddxtg x=sec^2 x.

Passo 2

Use as propriedades de logaritmo para separar a expressão:
lnraiz2^x+1(tg x-1)^3 =lnl( (2^x+1)^1/2r)-lnl((tg x-1)^3r) =tfrac12ln(2^x+1)-3ln(tg x-1)

Passo 3

Agora derivamos o primeiro termo, tfrac12ln(2^x+1). Pela regra da cadeia:
ddxl(tfrac12ln(2^x+1)r) =tfrac12cdot12^x+1cdotddx(2^x+1) =tfrac12cdot2^xln22^x+1

Passo 4

Derivamos o segundo termo, -3ln(tg x-1). De novo, regra da cadeia:
ddxl(-3ln(tg x-1)r) =-3cdot1tg x-1cdotddx(tg x-1) =-3cdotsec^2 xtg x-1

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
ddxlnraiz2^x+1(tg x-1)^3 =2^xln22,(2^x+1) -3sec^2 xtg x-1

Resposta

ddxlnraiz2^x+1(tg x-1)^3 =2^xln22,(2^x+1) -3sec^2 xtg x-1

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