(1,0) Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear, com T(1,-1)=(2,3) e T(2,1)=(3,2). Prove que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear TcolonR^2toR^2 e informa
T(1,-1) = (2,3), T(2,1) = (3,2)
O que vamos fazer é usar o fato de que (1,-1) e (2,1) são vetores independentes em R^2, construir a matriz de T nessa base e mostrar que ela tem autovalores distintos. Como uma matriz 2times2 com autovalores distintos é diagonalizável, isso prova que T é diagonalizável.

Passo 2

Verificamos que os vetores
v1 = (1,-1), v2 = (2,1)
são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Logo
B = v1,v2 é uma base de R^2.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz de [T) em relação à base . Para isso, expressamos e como combinação linear de e .
Para buscamos escalares tais que
Isto é,
que gera o sistema
Resolvendo, da segunda equação na base são
Para fazemos igual: achamos tais que
Da segunda (d = c + 2]. Na primeira:

Logo
Assim a matriz de na base é
]

Passo 4

Calculamos o polinômio característico de A. Primeiro o traço e o determinante:
tr(A) = -tfrac43 + tfrac53 = tfrac13, det(A) = l(-tfrac43r)l(tfrac53r) - l(-tfrac13r)l(tfrac53r) = -tfrac209 + tfrac59 = -tfrac159 = -tfrac53
O polinômio característico é
chiA(lambda) = lambda^2 - l(tfrac13r)lambda - tfrac53
Multiplicando por 3
3lambda^2 - lambda - 5 = 0,
cuja discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot3cdot(-5) = 1 + 60 = 61 > 0
Logo existem dois autovalores reais distintos.

Passo 5

Em R^2, uma matriz 2times2 com autovalores distintos é diagonalizável. Como A é a matriz de T em alguma base, segue que T também é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável.

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