(1,0) Seja uma transformação linear, com e . Prove que é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear e informa
O que vamos fazer é usar o fato de que e são vetores independentes em , construir a matriz de nessa base e mostrar que ela tem autovalores distintos. Como uma matriz com autovalores distintos é diagonalizável, isso prova que é diagonalizável.
Passo 2
Verificamos que os vetores
são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Logo é uma base de .
Passo 3
Vamos encontrar a matriz de [T) em relação à base . Para isso, expressamos e como combinação linear de e .
Para buscamos escalares tais que
Isto é,
que gera o sistema
Resolvendo, da segunda equação na base são
Para fazemos igual: achamos tais que
Da segunda (d = c + 2]. Na primeira:
Logo
Assim a matriz de na base é
]
Passo 4
Calculamos o polinômio característico de A. Primeiro o traço e o determinante: