9.3 Calcule a declividade de um canal trapezoidal gramado, com base de 10 m e taludes 3(\mathrm{H}): 1(\mathrm{~V}), transportando 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} com uma profundidade de 0,75 \mathrm{~m}.

Passo 1

Temos um canal trapezoidal com largura de fundo b=10\,\mathrm{m}, taludes laterais de 3\mathrm{H}:1\mathrm{V}, vazão Q=10\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s} e profundidade de escoamento y=0,75\,\mathrm{m}. Como o canal é gramado, adotamos coeficiente de Manning n=0,035. Para encontrar a declividade S usaremos a equação de Manning:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde A é a área da seção molhada e R o raio hidráulico.

Passo 2

Calculamos a largura do espelho d’água no topo:
T = b + 2\,m\,y
sendo m=3. Logo,
T = 10 + 2\cdot3\cdot0,75 = 10 + 4,5 = 14,5\,\mathrm{m}.

Passo 3

A área da seção molhada é a média aritmética das larguras multiplicada pela profundidade:
A = \frac{b + T}{2}\;y \quad\Rightarrow\quad A = \frac{10 + 14,5}{2}\times0,75 = 12,25\times0,75 = 9,1875\,\mathrm{m}^2.

Passo 4

O perímetro molhado é
P = b + 2\,\sqrt{y^2 + (m\,y)^2} \quad\Rightarrow\quad P = 10 + 2\sqrt{0,75^2 + (3\cdot0,75)^2} =10 + 2\sqrt{0,5625 + 5,0625} =10 + 2\cdot2,3717 \approx14,7434\,\mathrm{m}.
Dessa forma, o raio hidráulico é
R = \frac{A}{P} = \frac{9,1875}{14,7434}\approx0,6233\,\mathrm{m}.

Passo 5

Isolamos S na equação de Manning:
S = \Biggl(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\Biggr)^{2}.
Calculando R^{2/3} = 0,6233^{2/3}\approx0,7299 e substituindo,
\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}} = \frac{10\cdot0,035}{9,1875\cdot0,7299} \approx0,0522,
logo
S = (0,0522)^2 \approx0,00273.

Resposta

A declividade necessária é aproximadamente
S \approx 0,0027
ou seja, cerca de 0,27\%.

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