Exercício 4 - Enchendo um tanque (armazenamento)
Um tanque de área 3,0 \mathrm{~m}^{2} recebe vazão constante de 15 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e possui saída de 8 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.
Determine o tempo necessário para que o nível do tanque suba 0,50 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de seção transversal constante de área \,A=3{,}0\\ \mathrm{m}^2, que recebe vazão de entrada constante \,Q_{\text{in}}=15\\ \mathrm{L/s} e tem vazão de saída constante \,Q_{\text{out}}=8\\ \mathrm{L/s}. Precisamos achar o tempo necessário para que a altura do líquido suba \Delta h=0{,}50\\ \mathrm{m}. Vamos usar o balanço de volume para um reservatório de seção constante, que leva à equação
A\,\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}\,.

Passo 2

Primeiro convertemos as vazões de litros por segundo para metros cúbicos por segundo, lembrando que 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^3:
Q_{\text{in}}=15\\ \mathrm{L/s}=15\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3\!/s=0{,}015\\ \mathrm{m}^3/s,
Q_{\text{out}}=8\\ \mathrm{L/s}=8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3\!/s=0{,}008\\ \mathrm{m}^3/s.
Logo, a vazão líquida que entra no tanque é
Q_{\text{net}}=Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}=0{,}015-0{,}008=0{,}007\\ \mathrm{m}^3/s.

Passo 3

Substituindo Q_{\text{net}} na equação de balanço, obtemos uma taxa constante de variação do nível:
A\,\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = Q_{\text{net}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = \frac{Q_{\text{net}}}{A}.

Passo 4

Como a taxa \mathrm{d}h/\mathrm{d}t é constante, basta integrar de h=0 até h=\Delta h em tempo de t=0 até t=T:
\int_{0}^{\Delta h}\mathrm{d}h = \frac{Q_{\text{net}}}{A}\int_{0}^{T}\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad \Delta h = \frac{Q_{\text{net}}}{A}\,T \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{A\,\Delta h}{Q_{\text{net}}}\,.

Passo 5

Agora substituímos os valores:
T = \frac{3{,}0\\ \mathrm{m}^2\times0{,}50\\ \mathrm{m}}{0{,}007\\ \mathrm{m}^3/s} = \frac{1{,}5\\ \mathrm{m}^3}{0{,}007\\ \mathrm{m}^3/s} \approx214{,}29\\ \mathrm{s}.
Em minutos, isso equivale a 214{,}29/60\approx3{,}57 minutos.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 214\\ \mathrm{s} (cerca de 3{,}6 minutos).

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