Calcule, pela definição, a derivada da função f, dada por f(x)= x^3 sen 1x^2, & se x neq 0 0, & se x=0 em p=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x)=x^3sin1x^2,&xneq00,&x=0. O objetivo é calcular f'(0) usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar o limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição de derivada em p=0, temos
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h=limhto0f(h)h
Como f(h)=h^3sin1h^2 para hneq0, o quociente fica
f(h)h=h^2sin1h^2

Passo 3

Para avaliar limhto0h^2sin1h^2, usamos o teorema do confronto. Como
l|h^2sintfrac1h^2r|<=|h^2|
e limhto0h^2=0, pelo teorema do confronto concluímos que
limhto0h^2sintfrac1h^2=0

Resposta

0

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