Determine a in R de forma que f, dada por f(x)=ll4 x^4+a x^3, & x <= 0 ; 20 x^2-2 x, & x>0 , seja diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de ainR que faz a função por partes
4x^4+a x^3,&x<=0, 20x^2-2x,&x>0
ser diferenciável em x=0. O conteúdo é diferenciabilidade de função definida por partes, o que exige continuidade em 0 e igualdade das derivadas laterais em 0.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=0:
Para x<=0, f(0^-)=4cdot0^4+acdot0^3=0.
Para x>0, f(0^+)=20cdot0^2-2cdot0=0.
Logo f(0^-)=f(0^+)=0, ou seja, f é contínua em 0 para qualquer a.

Passo 3

Calculamos as derivadas laterais em x=0:
Para x<=0,
f'(x)=ddx(4x^4+a x^3)=16x^3+3a x^2
Logo f'-(0)=16cdot0^3+3acdot0^2=0.
Para x>0,
f'(x)=ddx(20x^2-2x)=40x-2
Logo f'+(0)=40cdot0-2=-2.

Passo 4

Para que f seja diferenciável em 0, precisamos de f'-(0)=f'+(0), ou seja,
0=-2
Isto é impossível para qualquer a. Portanto, não existe valor de a que torne f diferenciável em x=0.

Resposta

Não existe valor de ainR que torne f diferenciável em x=0.

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