Usando a Regra de LHospital, calcule os limites:
lim x 0 x cos x-sen xx^3

Passo 1

Neste exercício vamos calcular limxto0 xcos x - sin xx^3 usando a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador até obter uma forma avaliável.

Passo 2

Verificamos que em x=0 o numerador vale 0cdot1 - 0 = 0 e o denominador vale 0^3=0, caracterizando a forma indeterminada 0/0, então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos o numerador e o denominador: derivada de xcos x - sin x é cos x - xsin x - cos x = -xsin x e derivada de x^3 é 3x^2. O limite transforma-se em
limxto0 -xsin x3x^2
e, simplificando, em
limxto0 -sin x3x
Ainda temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 4

Aplicando L’Hospital pela segunda vez, derivamos de novo: numerador -sin x vira -cos x e denominador 3x vira 3. O limite passa a ser
limxto0 -cos x3
Substituindo x=0 obtemos -1/3.

Resposta

-1/3

Exercícios relacionados