Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha equações paramétricas para a interseção em termos do parâmetro
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva onde duas superfícies se cruzam e depois encontrar umas equações paramétricas para essa interseção usando $ x = t $ como parâmetro. As duas superfícies que temos são:
- Paraboloide: $ z = x^{2} + y^{2} $
- Plano: $ x - y = 0 $
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar a relação entre as variáveis e depois expressar tudo em termos de $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção dessas duas superfícies. A interseção é o conjunto de pontos que estão nas duas superfícies ao mesmo tempo. Então, vamos resolver o sistema de equações formado por $ z = x^{2} + y^{2} $ e $ x - y = 0 $.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação do plano $ x - y = 0 $. Isso significa que $ x = y $. Agora, podemos substituir $ y $ por $ x $ na equação do paraboloide.
Passo 4
Substituindo $ y $ por $ x $ na equação do paraboloide:
Então, agora temos $ z = 2x^{2} $.
Passo 5
Agora, queremos expressar tudo em termos do parâmetro $ t $, onde $ x = t $. Já sabemos que $ x = t $, e como $ y = x $, então $ y = t $. E substituindo $ x = t $ na equação para $ z $, temos:
Passo 6
Então, agora temos todas as coordenadas em termos de $ t $:
Essas são as equações paramétricas para a interseção das duas superfícies.
Resposta
As equações paramétricas para a interseção são: