Calcule, pela definição, a derivada das funções (Aqui podem usar limites fundamentais vistos no Cálculo):
f(x)=\ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\ln x pela definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,.
Para isso vamos usar a propriedade dos logaritmos e o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1\,.

Passo 2

Escrevendo o quociente de diferenças temos
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\ln\!\Bigl(\frac{x+h}{x}\Bigr)\,,
onde usamos \ln a-\ln b=\ln(a/b).

Passo 3

Observe que
\frac{x+h}{x}=1+\frac{h}{x},
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f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\ln\bigl(1+\tfrac{h}{x}\bigr)}{h}\,.

Passo 4

Faça a troca de variável u=\tfrac{h}{x}. Então h=xu e, quando h\to0, também u\to0. Substituindo no limite:
f'(x) =\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{xu} =\frac{1}{x}\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u} =\frac{1}{x}\cdot1 =\frac{1}{x}\,.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x}.

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