Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável tal que f^{\prime}(x) \neq 0, para todo x \in \mathbb{R}.
(a) Mostre que f é uma função injetiva.
(b) Mostre que ou f^{\prime}(x)>0, para todo x \in \mathbb{R}, ou f^{\prime}(x)<0, para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável e que
f'(x)\neq0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Precisamos mostrar duas coisas:
(a) que f é injetiva, usando o Teorema de Rolle;
(b) que f'(x) não muda de sinal em \mathbb{R}, recorrendo à propriedade de Darboux para derivadas.

Passo 2

Prova da injetividade. Suponha, por absurdo, que existam a<b tais que
f(a)=f(b).
Como f é diferenciável em [a,b], o Teorema de Rolle garante a existência de c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=0.
Isso contraria a hipótese f'(x)\neq0 para todo x. Logo, não pode haver a\neq b com f(a)=f(b), e assim f é injetiva.

Passo 3

Prova de que f' tem sinal constante. Como derivadas satisfazem o Teorema do Valor Intermediário (Darboux), não podem ocorrer saltos de sinal em f'. Se existissem x_{1}<x_{2} com f'(x_{1})>0 e f'(x_{2})<0, então pelo Teorema de Darboux haveria c\in(x_{1},x_{2}) com
f'\text{(c)}=0,
o que é impossível. Portanto, não há pontos em que f' seja positiva e negativa simultaneamente.

Passo 4

Como f'(x)\neq0 em todo \mathbb{R} e não pode mudar de sinal, existem apenas duas possibilidades:
  • ou f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R},
  • ou f'(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) f é injetiva.
(b) Ou f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, ou f'(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}.

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