Calcule, pela definição, a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, pela definição, a derivada da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.\n - O pedido é: encontrar
usando a definição de derivada (ou seja, o limite do quociente incremental).\n
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada (a fórmula que vamos aplicar diretamente):
Aqui
é um incremento pequeno em
; vamos calcular esse limite para
.
Passo 3
Substituímos
na diferença do quociente:
Vamos simplificar o numerador. Uma fatoração útil é
então com
e
temos essa forma aplicável.
Passo 4
Usamos identidades trigonométricas clássicas para transformar o produto:
Multiplicando os dois resultados:
Agora observe que
. Aplicando isso duas vezes (para as metades), obtemos a forma mais simples:
Esta é uma identidade útil; vamos usá‑la com
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na identidade:
Portanto o quociente incremental vira
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Usamos duas propriedades de limites:
- A função seno é contínua, logo
.\n - O limite básico (medido em radianos) é
. Aqui vale comentar rapidamente por que: para em torno de (e em radianos) vale a desigualdade para ; fazendo ambas as extremidades tendem a , então pelo Teorema do Aperto (squeeze) o quociente tende a . (É importante que os ângulos estejam em radianos para essa igualdade ser verdadeira.)
Aplicando essas duas propriedades ao produto de limites, obtemos
Passo 7
Podemos escrever a resposta em forma alternativa, usando a identidade
. Assim
Dica para a prova: reconhecer
como
e aplicar a definição leva ao mesmo resultado que usar regra da cadeia (derivando
com
):
. Mas como o enunciado pediu “pela definição”, fizemos o limite explícito.