Calcule, pela definição, a derivada das funções:
f(x)=\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição, a derivada da função \;f(x)=\cos^{2}x.\n
Informações dadas:
  • A função é \;f(x)=\cos^{2}x.\n
  • O pedido é: encontrar f'(x) usando a definição de derivada (ou seja, o limite do quociente incremental).\n

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada (a fórmula que vamos aplicar diretamente):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui \;h é um incremento pequeno em x; vamos calcular esse limite para f(x)=\cos^{2}x.

Passo 3

Substituímos f na diferença do quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\cos^{2}(x+h)-\cos^{2}x}{h}.
Vamos simplificar o numerador. Uma fatoração útil é
\cos^{2}A-\cos^{2}B=(\cos A-\cos B)(\cos A+\cos B),
então com A=x+h e B=x temos essa forma aplicável.

Passo 4

Usamos identidades trigonométricas clássicas para transformar o produto:
\cos A-\cos B=-2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right),
\cos A+\cos B=2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Multiplicando os dois resultados:
\cos^{2}A-\cos^{2}B=-4\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Agora observe que 2\sin u\cos u=\sin(2u). Aplicando isso duas vezes (para as metades), obtemos a forma mais simples:
\cos^{2}A-\cos^{2}B=-\sin(A+B)\sin(A-B).
Esta é uma identidade útil; vamos usá‑la com A=x+h e B=x.

Passo 5

Substituindo A=x+h e B=x na identidade:
\cos^{2}(x+h)-\cos^{2}x=-\sin(2x+h)\sin(h).
Portanto o quociente incremental vira
\frac{\cos^{2}(x+h)-\cos^{2}x}{h}=-\sin(2x+h)\cdot\frac{\sin(h)}{h}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\left[-\sin(2x+h)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right].
Usamos duas propriedades de limites:
  1. A função seno é contínua, logo \lim_{h\to 0}\sin(2x+h)=\sin(2x).\n
  2. O limite básico (medido em radianos) é \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1. Aqui vale comentar rapidamente por que: para h em torno de 0 (e em radianos) vale a desigualdade \cos h\le \dfrac{\sin h}{h}\le 1 para 0<h<\tfrac{\pi}{2}; fazendo h\to 0 ambas as extremidades tendem a 1, então pelo Teorema do Aperto (squeeze) o quociente \dfrac{\sin h}{h} tende a 1. (É importante que os ângulos estejam em radianos para essa igualdade ser verdadeira.)
    Aplicando essas duas propriedades ao produto de limites, obtemos
f'(x)=-\sin(2x)\cdot 1=-\sin(2x).

Passo 7

Podemos escrever a resposta em forma alternativa, usando a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x. Assim
f'(x)=-\sin(2x)=-2\sin x\cos x.
Dica para a prova: reconhecer \cos^{2}x como (\cos x)^{2} e aplicar a definição leva ao mesmo resultado que usar regra da cadeia (derivando u^{2} com u=\cos x): 2u\cdot u' = 2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x. Mas como o enunciado pediu “pela definição”, fizemos o limite explícito.

Resposta

f'(x)=-\sin(2x)=-2\sin x\cos x

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