Considere a função
.
(a) Verifique que
é derivável para todo ponto
. Em particular, determine
.
(b) A função
é duas vezes diferenciável? Em caso negativo, em quais pontos
não é duas vezes diferenciável?
(a) Verifique que
(b) A função
Passo 1
O enunciado dá a função [f(x)=x\cdot|x|) e pede duas coisas:
(a) Verificar que
é derivável para todo
e, em particular, determinar
.
(b) Analisar se
é duas vezes diferenciável; se não for, indicar os pontos onde deixa de ser duas vezes diferenciável.
Informações úteis que o enunciado fornece (ou que podemos deduzir imediatamente):
logo podemos escrever (f] em forma peça a peça:
]
Passo 2
Vou explicar a definição de derivada e calcular
para
.
Definição de derivada num ponto
: a derivada
é o limite
quando esse limite existe. Esse limite pode ser verificado usando os dois limites laterais (pela direita e pela esquerda); se ambos existem e são iguais, a derivada existe.
Para
: usamos a forma peça a peça
. A regra básica que uso é: a derivada de
em relação a
é
(porque
para
). Então para
Para
: usamos
. A derivada de
é
. Então para
Observação didática curta: aqui eu tratei
e
separadamente porque
é dada por expressões diferentes nas duas regiões; isso é comum quando a função envolve
.
Passo 3
Agora calculo
pelo limite fundamental da definição, porque o ponto
é onde a expressão muda de ramo e precisamos checar se a derivada existe ali.
Usamos
Primeiro
. Então
Para
(aproximação pela direita),
, logo
e
.
Para
(aproximação pela esquerda),
, logo
e
.
Como os dois limites laterais dão
, o limite total existe e
Passo de interpretação: isso mostra que
é derivável em
. Juntando com o que calculei para
,
é derivável em todo
.
Passo 4
Vou escrever numa fórmula mais compacta para a derivada, e comentar por que essa fórmula funciona para todo
.
Para
eu tinha
. Para
eu tinha
. Note que ambas as expressões são iguais a
, porque
quando
e
quando
. Também em
temos
. Portanto a expressão unificada é
Didática rápida: representar a derivada em termos de
é útil porque mostra que
é contínua em
(já que
e
quando
), mas não diz nada ainda sobre a existência de
.
Passo 5
Agora explico o que significa ser duas vezes diferenciável e calculo
para
.
Uma função é duas vezes diferenciável em
se
é diferenciável em
; isto é, se o limite
existe.
Para
: como
nesse ramo (porque
aí), a derivada de
é a derivada de
, que é
. Logo, para
,
Para
: como
nesse ramo (porque
aí), a derivada de
é a derivada de
, que é
. Logo, para
,
Assim, para
a segunda derivada existe e é uma função peça a peça constante com valores
e
.
Passo 6
Falta verificar
. Uso a definição direta de derivada de
em
:
Já sei
e
. Então
Para
:
, então
.
Para
:
, então
.
Como os limites laterais são diferentes (
à direita e
à esquerda), o limite total não existe. Portanto
não existe.
Interpretação geométrica e final:
tem uma “quina” (mudança brusca de inclinação) em
; isso impede que
tenha derivada em
. Em termos práticos:
é duas vezes diferenciável para todo
, mas não é duas vezes diferenciável em
.
Resposta
(a)
é derivável para todo
e
.
(b) não é duas vezes diferenciável em
; para
tem-se
se
e
se
.
(b)