Considere a função f(x)=x \cdot|x|.
(a) Verifique que f é derivável para todo ponto x \in \mathbb{R}. Em particular, determine f^{\prime}(0).
(b) A função f é duas vezes diferenciável? Em caso negativo, em quais pontos f não é duas vezes diferenciável?

Passo 1

O enunciado dá a função [f(x)=x\cdot|x|) e pede duas coisas:
(a) Verificar que f é derivável para todo x\in\mathbb{R} e, em particular, determinar f'(0).
(b) Analisar se f é duas vezes diferenciável; se não for, indicar os pontos onde deixa de ser duas vezes diferenciável.
Informações úteis que o enunciado fornece (ou que podemos deduzir imediatamente):
|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge0,\\[4pt] -x, & \text{se }x<0, \end{cases}
logo podemos escrever (f] em forma peça a peça:
f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se }x\ge0,\\[4pt] -\,x^{2}, & \text{se }x<0. \end{cases}]

Passo 2

Vou explicar a definição de derivada e calcular f'(x) para x\neq0.
Definição de derivada num ponto a: a derivada f'(a) é o limite
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Esse limite pode ser verificado usando os dois limites laterais (pela direita e pela esquerda); se ambos existem e são iguais, a derivada existe.
Para x>0: usamos a forma peça a peça f(x)=x^{2}. A regra básica que uso é: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x (porque \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para n=2). Então para x>0
f'(x)=2x.
Para x<0: usamos f(x)=-x^{2}. A derivada de -x^{2} é -2x. Então para x<0
f'(x)=-2x.
Observação didática curta: aqui eu tratei x>0 e x<0 separadamente porque f é dada por expressões diferentes nas duas regiões; isso é comum quando a função envolve |x|.

Passo 3

Agora calculo f'(0) pelo limite fundamental da definição, porque o ponto 0 é onde a expressão muda de ramo e precisamos checar se a derivada existe ali.
Usamos
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Primeiro f(0)=0\cdot|0|=0. Então
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)}{h}.
Para h>0 (aproximação pela direita), f(h)=h^{2}, logo
\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{2}}{h}=h \quad\text{quando }h>0,
e \lim_{h\to0^{+}}h=0.
Para h<0 (aproximação pela esquerda), f(h)=-h^{2}, logo
\frac{f(h)}{h}=\frac{-h^{2}}{h}=-h \quad\text{quando }h<0,
e \lim_{h\to0^{-}}(-h)=0.
Como os dois limites laterais dão 0, o limite total existe e
f'(0)=0.
Passo de interpretação: isso mostra que f é derivável em 0. Juntando com o que calculei para x\neq0, f é derivável em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Vou escrever numa fórmula mais compacta para a derivada, e comentar por que essa fórmula funciona para todo x.
Para x>0 eu tinha f'(x)=2x. Para x<0 eu tinha f'(x)=-2x. Note que ambas as expressões são iguais a 2|x|, porque |x|=x quando x\ge0 e |x|=-x quando x<0. Também em x=0 temos 2|0|=0. Portanto a expressão unificada é
f'(x)=2|x|\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Didática rápida: representar a derivada em termos de |x| é útil porque mostra que f' é contínua em 0 (já que f'(0)=0 e f'(x)\to0 quando x\to0), mas não diz nada ainda sobre a existência de f''(0).

Passo 5

Agora explico o que significa ser duas vezes diferenciável e calculo f''(x) para x\neq0.
Uma função é duas vezes diferenciável em a se f' é diferenciável em a; isto é, se o limite
f''(a)=\lim_{h\to0}\frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}
existe.
Para x>0: como f'(x)=2x nesse ramo (porque |x|=x aí), a derivada de f'(x) é a derivada de 2x, que é 2. Logo, para x>0,
f''(x)=2.
Para x<0: como f'(x)=-2x nesse ramo (porque |x|=-x aí), a derivada de f'(x) é a derivada de -2x, que é -2. Logo, para x<0,
f''(x)=-2.
Assim, para x\neq0 a segunda derivada existe e é uma função peça a peça constante com valores 2 e -2.

Passo 6

Falta verificar f''(0). Uso a definição direta de derivada de f' em 0:
f''(0)=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}.
Já sei f'(0)=0 e f'(h)=2|h|. Então
\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=\frac{2|h|}{h}.
Para h>0: \frac{2|h|}{h}=\frac{2h}{h}=2, então \lim_{h\to0^{+}}\frac{2|h|}{h}=2.
Para h<0: \frac{2|h|}{h}=\frac{2(-h)}{h}=-2, então \lim_{h\to0^{-}}\frac{2|h|}{h}=-2.
Como os limites laterais são diferentes ( 2 à direita e -2 à esquerda), o limite total não existe. Portanto f''(0) não existe.
Interpretação geométrica e final: f' tem uma “quina” (mudança brusca de inclinação) em 0; isso impede que f' tenha derivada em 0. Em termos práticos: f é duas vezes diferenciável para todo x\neq0, mas não é duas vezes diferenciável em x=0.

Resposta

(a) f é derivável para todo x\in\mathbb{R} e f'(0)=0.
(b) f não é duas vezes diferenciável em x=0; para x\neq0 tem-se f''(x)=2 se x>0 e f''(x)=-2 se x<0.

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