Calcule, pela definição, a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule, pela definição, a derivada da função
.\n
Informações dadas:
a função é
.\n
O que se pede:
calcular usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).
Informações dadas:
O que se pede:
calcular
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de derivada pela qual devemos proceder.\n
A derivada de uma função num ponto
é o limite
A derivada de uma função
Aqui:
-
é um incremento pequeno em que tende a zero;\n - o quociente
mede a taxa média de variação de entre e ;\n - se esse limite existir, ele é a taxa instantânea de variação, isto é, a derivada
.\n
Estratégia didática: substituirna fórmula, usar identidades trigonométricas para manipular a diferença de senos e aplicar limites conhecidos (especialmente ).
Passo 3
Substituindo
na definição:
A derivada será o limite quando
desse quociente:
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica para diferença de senos:
Tomando
e
temos
Passo 5
Calculemos as diferenças e somas necessárias:\n
. Portanto
Também
Substituindo na expressão do quociente:
Passo 6
Reescrevemos o quociente de forma conveniente para aplicar limites:
Aqui separamos em três fatores para avaliar limites mais fáceis:
-
;\n -
;\n -
.
Passo 7
Agora calculamos o limite de cada fator quando
, lembrando propriedades básicas de limites e continuidade:\n
- Por continuidade do cosseno, quando
temos . Assim
- Use o limite clássico
. Aqui tomamos . Quando temos , logo
- Simplificando o terceiro fator:
Portanto
Passo 8
Multiplicando os limites (produto de limites quando todos existem) obtemos
Isso fecha a derivação pela definição. Se estiver nervoso na prova: decorar que a derivada de
é
ajuda, e aqui
tem
— dá o mesmo resultado.