Calcule, pela definição, a derivada das funções:
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule, pela definição, a derivada da função \displaystyle f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr).\n
Informações dadas:
\displaystyle a função é \displaystyle f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr).\n
O que se pede:
calcular \displaystyle f'(x) usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de derivada pela qual devemos proceder.\n
A derivada de uma função f num ponto x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • h é um incremento pequeno em x que tende a zero;\n
  • o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} mede a taxa média de variação de f entre x e x+h;\n
  • se esse limite existir, ele é a taxa instantânea de variação, isto é, a derivada f'(x).\n
    Estratégia didática: substituir f(x)=\operatorname{sen}(x^{2}) na fórmula, usar identidades trigonométricas para manipular a diferença de senos e aplicar limites conhecidos (especialmente \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1).

Passo 3

Substituindo f na definição:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\operatorname{sen}\bigl((x+h)^{2}\bigr)-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{h}.
A derivada será o limite quando h\to0 desse quociente:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}\bigl((x+h)^{2}\bigr)-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{h}.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica para diferença de senos:
\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B=2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Tomando A=(x+h)^{2} e B=x^{2} temos
\operatorname{sen}\bigl((x+h)^{2}\bigr)-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) =2\cos\!\left(\frac{(x+h)^{2}+x^{2}}{2}\right)\sin\!\left(\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{2}\right).

Passo 5

Calculemos as diferenças e somas necessárias:\n
(x+h)^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}. Portanto
\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{2}=xh+\frac{h^{2}}{2}.
Também
\frac{(x+h)^{2}+x^{2}}{2}=x^{2}+xh+\frac{h^{2}}{2}.
Substituindo na expressão do quociente:
\frac{\operatorname{sen}\bigl((x+h)^{2}\bigr)-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{h} = \frac{2\cos\!\left(x^{2}+xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)\,\sin\!\left(xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)}{h}.

Passo 6

Reescrevemos o quociente de forma conveniente para aplicar limites:
\frac{2\cos\!\left(x^{2}+xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)\,\sin\!\left(xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)}{h} =2\cos\!\left(x^{2}+xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)\cdot \frac{\sin\!\left(xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)}{xh+\dfrac{h^{2}}{2}}\cdot \frac{xh+\dfrac{h^{2}}{2}}{h}.
Aqui separamos em três fatores para avaliar limites mais fáceis:
  1. 2\cos\!\left(x^{2}+xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right);\n
  2. \dfrac{\sin\!\left(xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)}{xh+\dfrac{h^{2}}{2}};\n
  3. \dfrac{xh+\dfrac{h^{2}}{2}}{h}.

Passo 7

Agora calculamos o limite de cada fator quando h\to0, lembrando propriedades básicas de limites e continuidade:\n
  1. Por continuidade do cosseno, quando h\to0 temos x^{2}+xh+\dfrac{h^{2}}{2}\to x^{2}. Assim
\lim_{h\to0}2\cos\!\left(x^{2}+xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)=2\cos\!\left(x^{2}\right).\n
  1. Use o limite clássico \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1. Aqui tomamos t= xh+\dfrac{h^{2}}{2}. Quando h\to0 temos t\to0, logo
\lim_{h\to0}\frac{\sin\!\left(xh+\dfrac{h^{2}}{2}\right)}{xh+\dfrac{h^{2}}{2}}=1.\n
  1. Simplificando o terceiro fator:
\frac{xh+\dfrac{h^{2}}{2}}{h}=x+\frac{h}{2}.
Portanto
\lim_{h\to0}\left(x+\frac{h}{2}\right)=x.

Passo 8

Multiplicando os limites (produto de limites quando todos existem) obtemos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \left(2\cos\!\left(x^{2}\right)\right)\cdot 1 \cdot x = 2x\cos\!\left(x^{2}\right).
Isso fecha a derivação pela definição. Se estiver nervoso na prova: decorar que a derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u)\,u' ajuda, e aqui u(x)=x^{2} tem u'(x)=2x — dá o mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle f'(x)=2x\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)

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