Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 3x^{2} + 5\cos x $ usando a definição de derivadas. Esse assunto faz parte do estudo do cálculo diferencial, onde aprendemos como determinar a taxa de variação de uma função. Para isso, vamos precisar aplicar a definição formal da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada pelo limite:
Essa definição nos permite calcular a inclinação da reta tangente à curva da função em qualquer ponto $ x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ f(x + h) $. Substituindo $ x $ por $ x + h $ na função original:
Passo 4
Em seguida, vamos substituir $ f(x + h) $ e $ f(x) $ na definição da derivada:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão acima expandindo os termos:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos cancelar os termos semelhantes:
Ficando:
Passo 7
Podemos dividir cada termo no numerador por $ h $:
Passo 8
Agora, vamos analisar cada termo separadamente quando $ h $ tende a 0:
- $ 6x $ permanece $ 6x $.
- $ 3h $ tende a 0.
- O termo $ \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} $ é a definição da derivada de $ \cos x $, que sabemos ser $ -\sin x $.
Então:
Resposta
Portanto, a derivada da função é: