(2,0) Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
f(x)=3 x^2+5 cos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 3x^{2} + 5\cos x $ usando a definição de derivadas. Esse assunto faz parte do estudo do cálculo diferencial, onde aprendemos como determinar a taxa de variação de uma função. Para isso, vamos precisar aplicar a definição formal da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é dada pelo limite:
f(x)
Essa definição nos permite calcular a inclinação da reta tangente à curva da função em qualquer ponto $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(x + h) $. Substituindo $ x $ por $ x + h $ na função original:
f(x + h)

Passo 4

Em seguida, vamos substituir $ f(x + h) $ e $ f(x) $ na definição da derivada:
f(x + h)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima expandindo os termos:
3(x + h)^2 = 3(x^2 + 2xh + h^2) = 3x^2 + 6xh + 3h^2
Substituindo de volta:
f'(x) = limh to 0 (3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5cos(x + h)) - (3x^2 + 5cos x)h

Passo 6

Agora, vamos cancelar os termos semelhantes:
3x^2 - 3x^2 = 0 e 5cos(x + h) - 5cos x = 5[cos(x + h) - cos x]
Ficando:
f'(x) = limh to 0 6xh + 3h^2 + 5[cos(x + h) - cos x]h

Passo 7

Podemos dividir cada termo no numerador por $ h $:
h

Passo 8

Agora, vamos analisar cada termo separadamente quando $ h $ tende a 0:
  • $ 6x $ permanece $ 6x $.
  • $ 3h $ tende a 0.
  • O termo $ \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} $ é a definição da derivada de $ \cos x $, que sabemos ser $ -\sin x $.
Então:
h

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(x) = 6x - 5sin x

Exercícios relacionados