Responda as perguntas sobre o PVI:
l x y^prime+y=0 y(x0)=y0
Para que valores de x0 e y0 o problema:
Terá solução única ?

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar o PVI
x,y'+y=0, y(x0)=y0
e decidir para quais valores de x0 e y0 existe solução única. O conteúdo aqui é o teorema de existência e unicidade para ODEs de primeira ordem, onde vamos precisar escrever a equação na forma y'=f(x,y) e checar a continuidade de f e de partial f/partial y.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a equação no formato padrão.
A equação dada é
x,y'+y=0
Dividindo por x (desde que xneq0) obtemos
y'=- yx
Assim, definimos f(x,y)=-y/x.

Passo 3

O teorema de existência e unicidade diz que se f(x,y) e partial f/partial y são contínuas num retângulo que contenha (x0,y0), então existe uma única solução passando por (x0,y0).

Passo 4

Calculamos as condições de continuidade:
  1. f(x,y)=-y/x é contínua sempre que xneq0.
  2. A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=-1x,
que também é contínua para xneq0.
Portanto, o teorema vale apenas em domínios onde x não zera.

Passo 5

Conclusão: para ter solução única pelo teorema precisamos que o ponto inicial tenha x0neq0. O valor de y0 pode ser qualquer número real, pois não há restrição adicional em y.

Resposta

O problema terá solução única se, e somente se, x0neq0 (e y0 pode ser qualquer real).

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