Responda as perguntas sobre o PVI:
Para que valores de
e
o problema:
Terá solução única ?
Terá solução única ?
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar o PVI
e decidir para quais valores de
e
existe solução única. O conteúdo aqui é o teorema de existência e unicidade para ODEs de primeira ordem, onde vamos precisar escrever a equação na forma
e checar a continuidade de
e de
.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a equação no formato padrão.
A equação dada é
A equação dada é
Dividindo por
(desde que
) obtemos
Assim, definimos
.
Passo 3
O teorema de existência e unicidade diz que se
e
são contínuas num retângulo que contenha
, então existe uma única solução passando por
.
Passo 4
Calculamos as condições de continuidade:
-
é contínua sempre que . - A derivada parcial em relação a
é
que também é contínua para
.
Portanto, o teorema vale apenas em domínios onde não zera.
Portanto, o teorema vale apenas em domínios onde
Passo 5
Conclusão: para ter solução única pelo teorema precisamos que o ponto inicial tenha
. O valor de
pode ser qualquer número real, pois não há restrição adicional em
.
Resposta
O problema terá solução única se, e somente se,
(e
pode ser qualquer real).