Esboce as curvas dadas pelas equações paramétricas abaixo, indicando a orientação. Obtenha também a equação cartesiana de cada curva.
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Passo 1
O enunciado quer o esboço e a orientação da curva dada por x(t)=–1+t², y(t)=2–t², junto com sua equação cartesiana. O conteúdo é curvas paramétricas: vamos eliminar o parâmetro para achar a curva no plano (equação cartesiana) e depois analisar como o ponto se move (orientação).
Passo 2
Para eliminar t, note que ambas as componentes envolvem t². Somando x e y:
Logo a curva satisfaz
ou seja
Mas como t² = x + 1 ≥ 0, temos a restrição
Passo 3
A curva é, portanto, a parte da reta y=1–x para x≥–1. Para ver alguns pontos, basta usar t:
– Para t=0: (x,y)=(-1,2) (o “vértice” da parte reta)
– Para t=1: (x,y)=(0,1)
– Para t=2: (x,y)=(3,-2)
No esboço, desenhe a reta de coeficiente angular –1 interceptando (–1,2), e marque a porção com x≥–1.
– Para t=0: (x,y)=(-1,2) (o “vértice” da parte reta)
– Para t=1: (x,y)=(0,1)
– Para t=2: (x,y)=(3,-2)
No esboço, desenhe a reta de coeficiente angular –1 interceptando (–1,2), e marque a porção com x≥–1.
Passo 4
Para entender a orientação, calcule as derivadas:
- Se t>0 então dx/dt>0 e dy/dt<0: o ponto anda para a direita e para baixo.
- Se t<0 então dx/dt<0 e dy/dt>0: o ponto anda para a esquerda e para cima.
À medida que t vai de –∞ a 0, a curva vem de “longe” em direção a (–1,2); de 0 a +∞, ela sai de (–1,2) de volta em direção ao infinito, sempre sobre a mesma reta.
Passo 5
No esboço, indique uma seta apontando do ponto (–1,2) para o quadrante de x positivo e y negativo para t>0 (e o sentido oposto para t<0), pois o vértice (–1,2) é o ponto em que a curva “inverte” o ramo.
Resposta
Equação cartesiana: y = 1 - x, com x ≥ -1. A curva é a parte da reta de coeficiente angular -1 a partir de (-1,2). A orientação, para t>0, vai de (-1,2) para a direita e para baixo ao longo dessa reta (e para t<0 no sentido contrário).