(2,0) Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
f(x)=cos xx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=cos xx^2+1 usando a definição de derivada. O conteúdo envolvido é o limite do quociente de diferenças, e vamos precisar conhecer a expansão de f(x+h) e manipular limites de soma e produtos.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Aqui temos f(x+h)=cos(x+h)(x+h)^2+1 e f(x)=cos xx^2+1.

Passo 3

Formamos o numerador do quociente de diferenças e buscamos um denominador comum:
f(x+h)-f(x)=cos(x+h)(x+h)^2+1-cos xx^2+1 = cos(x+h)(x^2+1)-cos xl((x+h)^2+1r)l((x+h)^2+1r)(x^2+1)

Passo 4

Expandimos e agrupamos termos no numerador:
(x+h)^2+1=x^2+2xh+h^2+1,
então
cos(x+h)(x^2+1)-cos x(x^2+2xh+h^2+1)= (x^2+1)l[cos(x+h)-cos xr]-2xhcos x -h^2cos x
Dividindo tudo por h e pelo denominador comum, separamos em três parcelas.

Passo 5

Reescrevendo o quociente e separando limites:
f(x+h)-f(x)h=(x^2+1)[cos(x+h)-cos x]h,(x^2+1)((x+h)^2+1) - 2x,hcos xh,(x^2+1)((x+h)^2+1) - h^2cos xh,(x^2+1)((x+h)^2+1)
Simplificamos cada termo.

Passo 6

Agora tiramos o limite hto0:
  • Para o primeiro termo usamos limhto0cos(x+h)-cos xh=-sin x e (x+h)^2+1to x^2+1, dando -sin x/(x^2+1).
  • O segundo termo vira -2xcos x/(x^2+1)^2.
  • O terceiro termo tem fator h e vai a zero.

Passo 7

Juntando tudo, obtemos
f'(x)=-sin xx^2+1-2xcos x(x^2+1)^2
Pode-se também combinar em um único quociente:
f'(x)=- (x^2+1)sin x -2xcos x(x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=-dfracsin xx^2+1-dfrac2xcos x(x^2+1)^2

Exercícios relacionados