(2,0) Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
f(x)=x cotg x.

Passo 1

O enunciado manda calcular a derivada de f(x)=x cotg x usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). Vamos usar trigonometria e limites fundamentais para chegar lá.

Passo 2

Escrevemos a definição:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h=limhto0(x+h)cot(x+h)-xcot xh

Passo 3

Separamos o numerador em duas parcelas:
(x+h)cot(x+h)-xcot xh=x[cot(x+h)-cot x]+hcot(x+h)h=xcot(x+h)-cot xh+cot(x+h)

Passo 4

Como hto0, o segundo termo tende a cot x. Fica
f'(x)=xlimhto0cot(x+h)-cot xh+cot x

Passo 5

Agora falta avaliar
L=limhto0cot(x+h)-cot xh
Escrevemos a diferença de cotangentes:
cot(x+h)-cot x=cos(x+h)sin(x+h)-cos xsin x =cos(x+h)sin x-cos xsin(x+h)sin xsin(x+h)
No numerador usamos as fórmulas:
cos(x+h)=cos xcos h-sin xsin h, sin(x+h)=sin xcos h+cos xsin h

Passo 6

Substituindo:
Numerador =
(cos xcos h-sin xsin h)sin x - cos x(sin xcos h+cos xsin h) =cos xcos hsin x -sin xsin hsin x -cos xsin xcos h -cos^2 xsin h = -sin^2xsin h -cos^2xsin h= -sin h(sin^2x+cos^2x)= -sin h

Passo 7

Portanto

Passo 8

Tomando o limite: limhto0-sin hh=-1 e sin(x+h)tosin x. Logo
L=limhto0cot(x+h)-cot xh=-1sin^2x=-csc^2x

Passo 9

Voltando à derivada:
f'(x)=xl(-csc^2xr)+cot x=cot x - xcsc^2x

Resposta

f’(x)=\cot x - x\csc^2 x

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