Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado manda calcular a derivada de f(x)=x cotg x usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). Vamos usar trigonometria e limites fundamentais para chegar lá.
Passo 2
Escrevemos a definição:
Passo 3
Separamos o numerador em duas parcelas:
Passo 4
Como
, o segundo termo tende a
. Fica
Passo 5
Agora falta avaliar
Escrevemos a diferença de cotangentes:
No numerador usamos as fórmulas:
Passo 6
Substituindo:
Numerador =
Numerador =
Passo 7
Portanto
Passo 8
Tomando o limite:
e
. Logo
Passo 9
Voltando à derivada:
Resposta
f’(x)=\cot x - x\csc^2 x