(2,0) Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
f(x)=x sen x.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a derivada de f(x)=x sen x usando a definição de derivada. O conteúdo é o limite do quociente incremental e vamos precisar dos limites trigonométricos básicos limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h=limhto0(x+h)sin(x+h)-xsin xh

Passo 3

Separamos o quociente em dois termos:
$$\frac{(x+h)\sin(x+h)-x\sin x}{h}=x\cdot\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}+\frac{h,\sin(x+h)}{h}.
$$

Passo 4

Agora calculamos cada limite:
  1. limhto0sin(x+h)-sin xh. Usamos a fórmula da soma de seno e propriedades de limite: sin(x+h)-sin xh=sin xcos h+cos xsin h-sin xh=sin xcdotcos h-1h+cos xcdotsin hh
    Tomando hto0, o primeiro termo vai a zero e o segundo vai a cos x, logo o limite é cos x.
    2) limhto0sin(x+h)=sin x

Passo 5

Juntando tudo, temos
f'(x)=xcdot(cos x)+1cdot(sin x)=sin x + xcos x

Resposta

f’(x)=\sin x + x\cos x

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