Calcule pela definição de derivadas as seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a derivada de f(x)=x sen x usando a definição de derivada. O conteúdo é o limite do quociente incremental e vamos precisar dos limites trigonométricos básicos
e
.
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada:
Passo 3
Separamos o quociente em dois termos:
$$\frac{(x+h)\sin(x+h)-x\sin x}{h}=x\cdot\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}+\frac{h,\sin(x+h)}{h}.
$$
Passo 4
Agora calculamos cada limite:
-
. Usamos a fórmula da soma de seno e propriedades de limite:
Tomando, o primeiro termo vai a zero e o segundo vai a , logo o limite é .
2)
Passo 5
Juntando tudo, temos
Resposta
f’(x)=\sin x + x\cos x